Equ. differenziale non omogenea a coefficienti costanti.
Ragazzi ho questa equazione differenziale:
$y^2-y=xe^x$
$\lambda^2\-1=0$
$\Delta=4$
$\lambda_1=-1$
$\lambda_2=1$
$y(x)=c_1e^-x+c_2e^x+v_0(x)$
$v_0(x)=(ax+b)e^x$
$v_0'(x)=ae^x+(ax+b)e^x$
$v_0^2(x)=ae^x+ae^x+(ax+b)e^x$
$2ae^x+(ax+b)e^x-(ax+b)e^x=xe^x$
così però non mi rimane nessun termine come ax per eguagliarlo $=1$
solo che non mi trovo con il libro dice che il ris. è $y(x)=c_1e^-x+c_2e^x-(x^2-x)e^x/4$
quindi è come se ci fosse un'altra $x$(forse per la molteplicità) e che $a=1/4$ e $b=-1/4$
Mi aiutate a capire dove ho sbagliato
$y^2-y=xe^x$
$\lambda^2\-1=0$
$\Delta=4$
$\lambda_1=-1$
$\lambda_2=1$
$y(x)=c_1e^-x+c_2e^x+v_0(x)$
$v_0(x)=(ax+b)e^x$
$v_0'(x)=ae^x+(ax+b)e^x$
$v_0^2(x)=ae^x+ae^x+(ax+b)e^x$
$2ae^x+(ax+b)e^x-(ax+b)e^x=xe^x$
così però non mi rimane nessun termine come ax per eguagliarlo $=1$
solo che non mi trovo con il libro dice che il ris. è $y(x)=c_1e^-x+c_2e^x-(x^2-x)e^x/4$
quindi è come se ci fosse un'altra $x$(forse per la molteplicità) e che $a=1/4$ e $b=-1/4$
Mi aiutate a capire dove ho sbagliato
Risposte
Perchè quando hai una eq diff non omogenea, con termine non omogeneo $g(x)=P(x)e^(alphax)$, la soluzione particolare è del tipo:
$y_p=x^mQ(x)e^(alphax)$, dove $m$ è la molteplicità algebrica del numero $lambda=alpha$ come radice nell'equazione omogenea (se $lambda$ non è radice, $m=0$), e $Q(x)$ è un polinomio al più dello stesso grado di $P(x)$.
Nel tuo caso, hai $alpha=1$ quindi $lambda=1$, che è proprio una radice dell'equazione omogenea con molteplicità $1$. $P(x)=x$ ha grado $1$, e quindi la soluzione particolare sarà del tipo $y_p=x(ax+b)e^(alphax)$.
Sostituisci, e troverai il risultato che cerchi.
Ciao!
$y_p=x^mQ(x)e^(alphax)$, dove $m$ è la molteplicità algebrica del numero $lambda=alpha$ come radice nell'equazione omogenea (se $lambda$ non è radice, $m=0$), e $Q(x)$ è un polinomio al più dello stesso grado di $P(x)$.
Nel tuo caso, hai $alpha=1$ quindi $lambda=1$, che è proprio una radice dell'equazione omogenea con molteplicità $1$. $P(x)=x$ ha grado $1$, e quindi la soluzione particolare sarà del tipo $y_p=x(ax+b)e^(alphax)$.
Sostituisci, e troverai il risultato che cerchi.
Ciao!
"75america":
Ragazzi ho questa equazione differenziale:
$y^2-y=xe^x$
$\lambda^2\-1=0$
$\Delta=4$
$\lambda_1=-1$
$\lambda_2=1$
$y(x)=c_1e^-x+c_2e^x+v_0(x)$
$v_0(x)=(ax+b)e^x$
$v_0'(x)=ae^x+(ax+b)e^x$
$v_0^2(x)=ae^x+ae^x+(ax+b)e^x$
$2ae^x+(ax+b)e^x-(ax+b)e^x=xe^x$
così però non mi rimane nessun termine come ax per eguagliarlo $=1$
solo che non mi trovo con il libro dice che il ris. è $y(x)=c_1e^-x+c_2e^x-(x^2-x)e^x/4$
quindi è come se ci fosse un'altra $x$(forse per la molteplicità) e che $a=1/4$ e $b=-1/4$
Mi aiutate a capire dove ho sbagliato
Il fatto e' che il termine noto si presenta come $xy_0(x)$ dove $y_0$ e' soluzione dell'omogenea (corrispondente a una radice semplice del polinomio caratteristico). In questo caso
devi cercare la soluzione particolare della forma $p(x)y_0(x)$ con $p(x)$ polinomio DI GRADO 2 ( di cui i puoi risparmiare il termine di grado zero, ma anche se non lo fai non c'e' problema).
Riguardati la teoria
gygabite grazie quindi con il fatto che $\lambda=1$ che è anche una radice ovvero $\lambda_2$ nel nostro caso quindi c'è molteplicità=1.
Grazie mille
Grazie mille
Esatto! Ti consiglio di guardare qui, http://it.wikipedia.org/wiki/Equazioni_ ... n_completa
Sono spiegati i casi più comuni di termini non omogenei che si possono risolvere facilmente.
Ciao
Sono spiegati i casi più comuni di termini non omogenei che si possono risolvere facilmente.
Ciao
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