Eq.ne differenziale Laplace

[Demostene92]

Ciao a tutti!
Ho un problema con il seguente esercizio. Devo risolvere il sistema:

$\{(y_1'+y_2'+y_1=0),(y_2'+y_1=3):}$, $y_1(0)=0$, $y_2(0)=0$

utilizzando la trasformata di Laplace.

Innanzitutto ho pensato di riscrivere il sistema in uno equivalente sottraendo membro a membro le due equazioni, ottenendo:

$\{(y_1'=-3),(y_2'=-y_1+3):}$

Dall'espressione $Y'=AY+F$, applicando la trasformata: $z\mathcal{L}(Y)-Y(0)=A\mathcal{L}(Y)+\mathcal{L}(F)$.

Poichè $Y(0)=\bb0$, si ottiene:

$z\mathcal{L}(Y)=A\mathcal{L}(Y)+\mathcal{L}(F)$

$\mathcal{L}(Y)=-(A-zI)^-1\mathcal{L}(F)$

Per quanto riguarda le varie matrici ottengo:

$A=((0,0),(-1,0))$,

$zI=((z,0),(0,z))$,

$(A-zI)=((-z,0),(-1,-z))->det(A-zI)=z^2$

$\tilde{(A-zI)}=((-z,1),(0,-z))->(A-zI)^-1=((-1/z,1/z^2),(0,-1/z))$

e quindi in definitiva:

$\mathcal{L}(Y)=((-3z-3)/z^3,3/z^2)^T$

Segue che $y_1$ sarà uguale all'antitrasformata di $(-3z-3)/z^3$ e $y_2$ a quella di $3/z^2$.

Posto $F_1(z)=(-3z-3)/z^3e^(zt)$ e $F_2(z)=3/z^2e^zt$, si ha:

$y_1=Res[F_1(z), 0]$ e $y_2=Res[F_2(z),0]$

Per quanto riguarda il primo residuo ottengo: $y_1(t)=-3/2t(t+2)$.
Per il secondo invece: $y_2(t)=3t$.

Il problema è che che queste due soluzioni non soddisfano le equazioni del sistema. Dovrebbe essere $y_1=-3t$, $y_2=3/2[t^2+2t]$.

Grazie a tutti!

[ciampax]

C'è qualcosa che non mi torna: se indichi con $Y_1, Y_2$ le trasformate delle due funzioni, allora il sistema diventa

$z Y_1=-3/z,\ z Y_2=-Y_1+3/z$

per cui la matrice dei coefficienti risulta

$A=((z, 0),(1, z))$ (per cui non capisco da dove ti escono quei meno!)

Mentre per il termine noto si ha il vettore

$F=((-3/z),(3/z))$

e pertanto la soluzione risulta

$((Y_1),(Y_2))=A^{-1} F=((1/z, 0),(-1/z^2, 1/z))((-3/z),(3/z))=((-3/z^2),({3+3z}/{z^3}))$

per cui

$Y_1=-3/z^2,\qquad Y_2={3+3z}/{z^3}=3/z^3+3/z^2$

Ora, senza perdere troppo tempo con residui vari, trovi che

$y_1=-3t,\qquad y_2=3/2 t^2+3t$

e una rapida verifica permette di vedere che sono le soluzioni del sistema sotto quelle condizioni iniziali.

[Demostene92]

Intanto grazie ciampax!

"ciampax":
per cui la matrice dei coefficienti risulta

$A=((z, 0),(1, z))$ (per cui non capisco da dove ti escono quei meno!)

Perchè io ho considerato la matrice $A$ come la matrice dei coefficienti delle funzioni non derivate, nel sistema originario prima di applicare la trasformata. Cioè, da questa relazione, ho messo un meno davanti:

$\mathcal{L}(Y)=-(A-zI)^-1\mathcal{L}(F)$

Penso che questa scrittura sia corretta!

[ciampax]

Ah, ok, ma non ne vedo la necessità! Cmq l'errore rimane: avresti dovuto cambiare i segni, visto che $y_1, y_2$ vanno portati a destra e cambiati di segno.

[Demostene92]

Ti ringrazio nuovamente, ma purtroppo seguendo il percorso che ho usato per svolgere l'esercizio non riesco a trovare l'errore che dici!