Eq.differenziali lineari

[maryenn1]

Ciao a tutti,qualcuno può spiegarmi perchè ad un'equazione diff. lineare può essere applicato il teorema di esistenza ed unicità globale per il problema di Cauchy associato?

[Noisemaker]

Be se consideriamo il caso più semplice di un'equazione lineare del primo ordine del tipo
\[y'(x)+a(x)y =f(x)\]
con le funzioni $a, f$ continue in un intervallo $[a;b]$ e la scrcviamo in forma normale, ossia
\[y'(x)=f(x)-a(x)y(x) \]
ponendo $$F(x,y):=f(x)-a(x)y(x) \tag A$$ ottieni che
\[F_y=-a(x) ,\]
che è una funzione continua e limitata nell'intervallo $[a;b],$ quindi le ipotesi del teorema sono soddisfatte per ogni problema di Cauchy. In realtà si può addirittura dimostrare la Lipsizianità, ovvero per ogni $x\in[a,b]$ e per ogni scelta di $y_1$ $y_2$ si ha
\[\left|F(x,y_1)-F(x,y_2)\right|\le L|y_1-y_2|:\]
infati sostiuendo dalla $(A)$ si ha
\begin{align}
\left|f(x)-a(x)y_1 -f(x)+a(x)y_2\right|=\left| -a(x)y_1 +a(x)y_2\right|&= |a(x)|\left|y_1 -y_2\right|\\
&\le M|y_1-y_2|,
\end{align}
dove $M$ è il massimo del modulo della funzione $a(x)$ sull'intervallo chiuso e limitato $[a,b,]$ massimo che sicuramente esiste essendo $a$ continua su un compatto.

[maryenn1]

Grazie