Eq.differenziali lineari
Ciao a tutti,qualcuno può spiegarmi perchè ad un'equazione diff. lineare può essere applicato il teorema di esistenza ed unicità globale per il problema di Cauchy associato?

Risposte
Be se consideriamo il caso più semplice di un'equazione lineare del primo ordine del tipo
\[y'(x)+a(x)y =f(x)\]
con le funzioni $a, f$ continue in un intervallo $[a;b]$ e la scrcviamo in forma normale, ossia
\[y'(x)=f(x)-a(x)y(x) \]
ponendo $$F(x,y):=f(x)-a(x)y(x) \tag A$$ ottieni che
\[F_y=-a(x) ,\]
che è una funzione continua e limitata nell'intervallo $[a;b],$ quindi le ipotesi del teorema sono soddisfatte per ogni problema di Cauchy. In realtà si può addirittura dimostrare la Lipsizianità, ovvero per ogni $x\in[a,b]$ e per ogni scelta di $y_1$ $y_2$ si ha
\[\left|F(x,y_1)-F(x,y_2)\right|\le L|y_1-y_2|:\]
infati sostiuendo dalla $(A)$ si ha
\begin{align}
\left|f(x)-a(x)y_1 -f(x)+a(x)y_2\right|=\left| -a(x)y_1 +a(x)y_2\right|&= |a(x)|\left|y_1 -y_2\right|\\
&\le M|y_1-y_2|,
\end{align}
dove $M$ è il massimo del modulo della funzione $a(x)$ sull'intervallo chiuso e limitato $[a,b,]$ massimo che sicuramente esiste essendo $a$ continua su un compatto.
\[y'(x)+a(x)y =f(x)\]
con le funzioni $a, f$ continue in un intervallo $[a;b]$ e la scrcviamo in forma normale, ossia
\[y'(x)=f(x)-a(x)y(x) \]
ponendo $$F(x,y):=f(x)-a(x)y(x) \tag A$$ ottieni che
\[F_y=-a(x) ,\]
che è una funzione continua e limitata nell'intervallo $[a;b],$ quindi le ipotesi del teorema sono soddisfatte per ogni problema di Cauchy. In realtà si può addirittura dimostrare la Lipsizianità, ovvero per ogni $x\in[a,b]$ e per ogni scelta di $y_1$ $y_2$ si ha
\[\left|F(x,y_1)-F(x,y_2)\right|\le L|y_1-y_2|:\]
infati sostiuendo dalla $(A)$ si ha
\begin{align}
\left|f(x)-a(x)y_1 -f(x)+a(x)y_2\right|=\left| -a(x)y_1 +a(x)y_2\right|&= |a(x)|\left|y_1 -y_2\right|\\
&\le M|y_1-y_2|,
\end{align}
dove $M$ è il massimo del modulo della funzione $a(x)$ sull'intervallo chiuso e limitato $[a,b,]$ massimo che sicuramente esiste essendo $a$ continua su un compatto.
Grazie
