Eq.differenziale

[christian951]

Buongiorno a tutti,qualcuno saprebbe aiutarmi a risolvere questa equazione differenziale?
$ y''+y=1/cos(x) $

Ho trovato la soluzione omogenea associata $ y_o=c_1cos(x)+c_2sin(x) $ ma non riesco a trovare quella particolare...Help!

[coffee2]

C'è qualcosa che non quadra: se la soluzione dell'omogenea è quella, allora c'è un segno sbagliato nel testo; se il testo è giusto, allora la soluzione dell'omogenea è un'altra

[christian951]

"coffee":C'è qualcosa che non quadra: se la soluzione dell'omogenea è quella, allora c'è un segno sbagliato nel testo; se il testo è giusto, allora la soluzione dell'omogenea è un'altra

Ho corretto

[Magma1]

È da un po' che non le faccio, però a me viene in questo modo:

$ y''-y=1/cos(x) $

L'omogenea associata è $r^2-1=0 rArr alpha=1, beta=-1$

L'equazione omogenea è del tipo $y_o=c_1e^(alpha t)+c_2 e^(beta t)$, quindi $y_o=c_1e^t+c_2 e^(-t)$

L'equazione particolare è del tipo $y_p=c_1(t)z_1+c_2(t)z_2$, e $c_1(t),c_2(t)$ si trovano risolvendo il seguente sistema

$| ( z_1 , z_2 ),( z'_1 , z'_2 ) | ( ( c'_1(t) ),( c'_2(t) ) ) =( ( 0 ),( f(t) ) ) $ con $z_1, z_2$ soluzione dell'omogenea

Risolto il sistema[nota]Essendo la matrice dei coefficiente è il la matrice Wronskiana, queste soluzioni (se non ho sbagliato i calcoli) sono l.i., quindi il determinante è diverso da zero per ogni $t in I$. Perciò il sistema lo si può risolvere in questo modo: $c'_1=(-z_2 f)/(z'_2z_1-z_2z'_1)$, $c'_2=(z_1 f)/(z'_2z_1-z_2z'_1)$[/nota], $c_i(t)=int c'_i(t) dt$

"christian95":[quote="coffee"]C'è qualcosa che non quadra: se la soluzione dell'omogenea è quella, allora c'è un segno sbagliato nel testo; se il testo è giusto, allora la soluzione dell'omogenea è un'altra

Ho corretto [/quote]

La risoluzione della soluzione particolare è analoga! Cambia solo la soluzione dell'omogenea che è del tipo $y_o=e^(alpha t)(c_1 cos(beta t)+c_2 sin(beta t))$

EDIT: ovviamente cambia anche la soluzione dell'omogenea, ma per quello non hai avuto problemi

[christian951]

Grazie mille,quindi dovevo usare il Wroskiano...lo stavo facendo con la variazione delle costanti e mi venivano integrali abbastanza difficili da risolvere