Eq.Diff alle derivate parziali

[nirvana2]

Ciao sono agli inizi con queste cose. Ho delle eq.diff alle derivate parziali da risolvere con delle sostituzioni.

In generale avrei la funzione da trovare $u=u(x,t)$ tramite sostituzioni del tipo $alpha=alpha(x,t)$ e $beta=beta(x,t)$.
Ovviamente $u$ la si deve derivare (a dipendenza dell'equazione) per x e per t.

Domanda 1): Non capisco questa uguaglianza che di solito si fa. Cioè la intuisco però non la capisco completamente.

$u(x,t)=U(alpha(x,t),beta(x,t))$ (NOTA: ho scritto U maiuscola ma di solito c'è una cosa tipo û per essere differente da u, o addirittura c'è chi scrivo ugualmente u) Praticamente poi la derivata per esempio parziale su x diventa:
$(du)/(dx)=(dU)/(dalpha) * (dalpha)/(dx) + (dU)/(dbeta) * (dbeta)/(dx)$
Non ho problemi su questa formula naturalmente, e la sostituzione di sopra effettivamente semplifica le cose, ma poi mi rimane il termine per esempio $(dU)/(dalpha)$ che non so cosa significhi concretamente: per esempio dall'equazione alle derivate parziali $(du)/(dt) + 4*((du)/dx)=u$ con le sostituzioni $alpha=e^(t)$ e $beta=x-4*t$ mi esce $(dU)/(dalpha) * e^(t) = U$ (Mi viene anche detto che una soluzione può essere $u(x,t) = g(alpha) * h(beta)$)
Domanda 2: come risolvo l'ultimo passaggio per arrivare alla mia soluzione $u=u(x,t)$.

Grazie a chi mi dà una mano.
Ciao.

[Lord K]

"nirvana":
Domanda 1): Non capisco questa uguaglianza che di solito si fa. Cioè la intuisco però non la capisco completamente.

$u(x,t)=U(alpha(x,t),beta(x,t))$ (NOTA: ho scritto U maiuscola ma di solito c'è una cosa tipo û per essere differente da u, o addirittura c'è chi scrivo ugualmente u) Praticamente poi la derivata per esempio parziale su x diventa:
$(du)/(dx)=(dU)/(dalpha) * (dalpha)/(dx) + (dU)/(dbeta) * (dbeta)/(dx)$
Non ho problemi su questa formula naturalmente, e la sostituzione di sopra effettivamente semplifica le cose, ma poi mi rimane il termine per esempio $(dU)/(dalpha)$ che non so cosa significhi concretamente: per esempio dall'equazione alle derivate parziali $(du)/(dt) + 4*((du)/dx)=u$ con le sostituzioni $alpha=e^(t)$ e $beta=x-4*t$ mi esce $(dU)/(dalpha) * e^(t) = U$ (Mi viene anche detto che una soluzione può essere $u(x,t) = g(alpha) * h(beta)$)

Premetto che sono un pochetto arrugginito... e quindi spero di non scrivere scempiaggini
Abbiamo:

$(dU)/(dalpha) * e^(t) = U$

che è anche (ovvero il fatto relativo alla sostituzione)

$(dU)/(dalpha) * alpha = U$

Da qui:

$ln(U)=ln(alpha)+c$
$U=c*alpha$
$u(x,t)=c(beta)*e^t$

"nirvana":
Domanda 2: come risolvo l'ultimo passaggio per arrivare alla mia soluzione $u=u(x,t)$.

Grazie a chi mi dà una mano.
Ciao.

Da questo osservo l'equazione originale:

$u_t+ 4*u_x=u$

$u_t=ce^t+(deltac)/(deltat)e^t$
$u_x=e^t+(deltac)/(deltax)$

$c*e^t+(deltac)/(deltat)e^t+4e^t+4(deltac)/(deltax)=c*e^t$
$(deltac)/(deltat)e^t+4(deltac)/(deltax)=-4e^t$

Se $c=x-4t$ è identicamente soddisfatta!

Soluzione generale quindi:

$u(x,t)=(x-4t)e^t$