Eq. piano tangente

[danilo982]

come si determina l'eq del piano tangente ad una funzione a due variabili in un punto???

[cavallipurosangue]

basta che sviluppi con Taylor la funzione nel punto in questione fino al primo ordine.

[desko]

Ti servono due elementi: un punto appartenente al piano (e questo lo hai già) e la giacitura del piano o, equivalentemente, le direzione ortogonale al piano.
Per trovare questa direzione ti bastano due vettori linearmente indipendenti giacenti sul piano.
Si possono prendere i due vettori più facili da calcolare, paralleli ai piani coordinati: avranno componenti $(0, 1, dz/dy)$ e $1, 0, dz/dx)$ (non so come si faccia il simbolo di derivata parziale).
Spero di non aver sparato grosse castronerie.
Si cerca un vettore ortogonale ad entrambi trovando, per esempio, $(dz/dx,dz/dy,-1)$.
Ora, questi coefficienti sono già buoni come coefficienti del piano che avrà quindi equazione $dz/dx x+dz/dy y -z+d=0$
Infine poni il passaggio per il punto ed in questo modo ricavi il termine noto d.
Sono stato molto stringato, probabilmente poco chiaro e forse scorretto.
Attendo rettiffiche.

Edit: mentre scrivevo sono stato anticipato dall'intervento di cavallinopurosangue: non ho ancora verificato ma verosimilmente quello che ho scritto io raggiunge lo stesso risultato della sua proposta, decisamente più elegante e semplice (non avevo mai sentito le serie di Taylor per più variabili, le scopro ora)

[cavallipurosangue]

Non conoscevi lo sviluppo di Taylor per le funzioni a più variabili? Cmq i nostri sono due approcci diversi, il tuo è più geometrico (l'ho usato tanto per geometria all'uni), mentre l'altro l'ho imparato nel corso di anlisi 2, quindi credo sia più analitico. In ogni caso anche io sono stato stringato, perchè ovviamente non tutte le funzioni ammettono su tutto il loro dominio un piano tangente... Neanche se sono derivabili in quel punto. Infatti la condizione necessaria e sufficiente affinchè la funzione ammetta localmente piano tangente è che sia ivi differenziabile.

P.S.: Si può parlare di sviluppo di Taylor, se si ha una funzione scritta in forma Cartesiana esplicita, ossia: $f(x,y)=z$. In altri casi o si riesce a passare ad una forma del genere oppure niente sviluppo...

[danilo982]

basta che sviluppi con Taylor la funzione nel punto in questione fino al primo ordine.

e la funzione che ottengo è direttamente quella del piano tangente??
grazie mille cavalli..
p.s. a questo punto ti chiederei un'altra cosa (e se poi passo l'esame di analisi2 sarà merito tuo..)
dato un campo vettoriale di eq:

$F(x,y)=([ln(x+y)-y],[ln(x+y)-x])$

stabilire se è conservativo e in caso determinare i potenziali..

qali sono i criteri per stabilire se è conservativo??