Eq. numeri complessi

[Sandsky90]

Ciao ragazzi, sto perdendo la testa con i numeri complessi.

L'equazione che non riesco a risovere la seguente: $z^3=(2+3i)^3$

Vi chiedo giusto se avete qualche suggerimento su come risolverla, se non volete svolgere i calcoli.
La mia idea era stata inizialmente di trasformare il numero complesso 2+3i nella forma trigonometrica, ma non riesco a ricavare l'angolo dato che l'arcotangente di $3/2$ non è un angolo noto.

Elevando entrambi i membri alla terza, nella loro forma algebrica, mi vengono invece calcoli troppo complicati, con variabili alla terza che non riesco a scomporre.

Vi ringrazio anticipatamente per qualsiasi suggerimento.

[miuemia]

allora considerando che sono le 00:00 di sabato e sto per uscire io ti dico il mio suggerimento....
poni $a=(2+3i)^3$ allor a la tua equazione è $z^3=a$ cioè le tue radici sono del tipo $z=\xi^{j}a$ per $j=1,2,3$ e $\xi$ una radice primitiva dell'unità.

[franced]

L'equazione

$z^3 = (2 + 3i)^3$

può essere vista in questo modo:

$z^3 - (2 + 3i)^3 = 0$

è una differenza di cubi, cioè può essere vista come $A^3 - B^3$ dove
$A = z$ e $B = 2 + 3i$;
arriviamo dunque alla seguente scrittura:

$(z - 2 - 3i) * (z^2 + (2 + 3i) z - 5 + 12 i) = 0$ .

A questo punto possiamo dire che una soluzione è $z_1 = 2 + 3i$
(ma questo non era così difficile da intuire...);
per ricavare le altre due soluzioni risolvi l'equazione
di secondo grado tra parentesi.