Eq. lineare non omogenea a coefficienti costanti -- teoria
Ho bisogno di qualche chiarimento su questo tipo di eq differenziale a causa di appunti confusi e non completi.... 
partiamo dall'eq: $y^n(x)=\sum_{k=0}^(n-1) a_ky^k(x)+b(x)$ bene l'integrale generale dell'eq è dato dall'integrale generale dell'eq omogenea associata più una soluzione particolare dell'eq completa...
Dopodichè il prof parte con un discorso che non capisco molto...
"Consideriamo una classe di funzioni: $F_(\alpha,\beta)={P(x)e^(\alphax)cos(\betax)+Q(x)e^(\alphax)sen(\betax)}$ ----> Cosa è una classe di funioni?cosa vuol dire l'espressione a lato?
Se la funzione x-->b(x) appartiene ad una classe $F_(\alpha,\beta)$ allora l'eq differenziale non omogenea ha una soluzione particolare nella stessa classe $F_(\alpha,\beta)$ ----> Perchè?
Sia ad esempio $b(x)=P(x)=e^(\alphax)cos(\betax)+Q(x)e^(\alphax)sen(\betax)$, supponiamo che $\alpha\pm\ibeta$ NON sia radice dell'eq caratteristica $rArr$ esiste una soluzione $y^w(x)=P^w(x)e^(\alphax)cos(\betax)+Q^w(x)e^(\alphax)sen(\betax)$ con grado $P^w<=max {$grado P, grado Q$}$ ----> cosa vuol dire? e quale è il grado di Q^w?
partiamo dall'eq: $y^n(x)=\sum_{k=0}^(n-1) a_ky^k(x)+b(x)$ bene l'integrale generale dell'eq è dato dall'integrale generale dell'eq omogenea associata più una soluzione particolare dell'eq completa...
Dopodichè il prof parte con un discorso che non capisco molto...
"Consideriamo una classe di funzioni: $F_(\alpha,\beta)={P(x)e^(\alphax)cos(\betax)+Q(x)e^(\alphax)sen(\betax)}$ ----> Cosa è una classe di funioni?cosa vuol dire l'espressione a lato?
Se la funzione x-->b(x) appartiene ad una classe $F_(\alpha,\beta)$ allora l'eq differenziale non omogenea ha una soluzione particolare nella stessa classe $F_(\alpha,\beta)$ ----> Perchè?
Sia ad esempio $b(x)=P(x)=e^(\alphax)cos(\betax)+Q(x)e^(\alphax)sen(\betax)$, supponiamo che $\alpha\pm\ibeta$ NON sia radice dell'eq caratteristica $rArr$ esiste una soluzione $y^w(x)=P^w(x)e^(\alphax)cos(\betax)+Q^w(x)e^(\alphax)sen(\betax)$ con grado $P^w<=max {$grado P, grado Q$}$ ----> cosa vuol dire? e quale è il grado di Q^w?
Risposte
Vai qui :
http://web.mate.polimi.it/viste/student ... amento=375
scegli Dispensa
e poi scarica : eqdifflin.pdf ; si tratta di una pagina della prof. Maluta fatto bene e chiaro.
Se hai ancora problemi chiedi ....
http://web.mate.polimi.it/viste/student ... amento=375
scegli Dispensa
e poi scarica : eqdifflin.pdf ; si tratta di una pagina della prof. Maluta fatto bene e chiaro.
Se hai ancora problemi chiedi ....
non risponde alle domande che ho posto nel posto.....
Lo so che non risponde direttamente alle tue domande ...
Quello che ti suggerivo, forse un po' implicitamente , è :
* dare (ancora) un'occhiata alla pagina che ti ho linkato
*provare a fare qualche esercizio preso dal tuo testo, dagli appunti, dalle esercitazioni , dimenticando per il momento le frasi dette dal prof , ma usando il testo linkato
* son sicuro che dopo ti sarà più facile capire le frasi, molto generali , dette dal prof
se avessi ancora dei problemi, siamo qui....
se non trovi esercizi da svolgere eccone due molto semplici ma significativi :
$y''-y = e^(2x) $
$y''-y= e^(-x) $
TRova prima la soluzione generale della omogenea associata( sempre la stessa nei due casi ) e poi una soluzione della non omogenea ( e non sarà la stessa nei due casi ), infine la soluzione completa .
Quello che ti suggerivo, forse un po' implicitamente , è :
* dare (ancora) un'occhiata alla pagina che ti ho linkato
*provare a fare qualche esercizio preso dal tuo testo, dagli appunti, dalle esercitazioni , dimenticando per il momento le frasi dette dal prof , ma usando il testo linkato
* son sicuro che dopo ti sarà più facile capire le frasi, molto generali , dette dal prof
se avessi ancora dei problemi, siamo qui....
se non trovi esercizi da svolgere eccone due molto semplici ma significativi :
$y''-y = e^(2x) $
$y''-y= e^(-x) $
TRova prima la soluzione generale della omogenea associata( sempre la stessa nei due casi ) e poi una soluzione della non omogenea ( e non sarà la stessa nei due casi ), infine la soluzione completa .
avevi ragione... 
solo una cosa....
in questo esercizio $y ''(x)-3y'(x)+2y(x)=e^x+senx$
trovo il polinomio caratteristico con radici 1 e 2
poi cerco una soluzione particolare prima di $b_1(x)=e^x$e poi $b_2(x)=senx$
seguendo la dispensa nel primo caso mi viene $y_1^w(x)=-xe^x$ seguendo il caso n° 2)
ma per il secondo caso quale devo usare? il 4)? ma mi viene diverso da come lo ha svolto il mio prof...
solo una cosa....
in questo esercizio $y ''(x)-3y'(x)+2y(x)=e^x+senx$
trovo il polinomio caratteristico con radici 1 e 2
poi cerco una soluzione particolare prima di $b_1(x)=e^x$e poi $b_2(x)=senx$
seguendo la dispensa nel primo caso mi viene $y_1^w(x)=-xe^x$ seguendo il caso n° 2)
ma per il secondo caso quale devo usare? il 4)? ma mi viene diverso da come lo ha svolto il mio prof...
il tuo professore è un po' disordinato nella spiegazione... contattami in privato che ti passo degli appunti semplici e concisi che fanno capire al volo di cosa stiamo parlando.
dipende dal tipo di eq differenziale che hai... nel mio caso si devi trovare la soluzione particolare... cmq dimmi come e ti contatto subito... come faresti a farmi pervenire i tuoi appunti???? 
"Knuckles":contattami su msn, trovi il mio indirizzo di posta sotto questo messaggio
dipende dal tipo di eq differenziale che hai... nel mio caso si devi trovare la soluzione particolare... cmq dimmi come e ti contatto subito... come faresti a farmi pervenire i tuoi appunti????
aggiunto il contatto... grazie mille 
niente risolto facevo errori di calcolo.... 
Per trovare la soluzione particolare relativa al termine noto $ b_2(x) = sin x $ si applica il caso 4a) in quanto $+-i $ non sono radici dell'equazione caratteristica, le cui radici sono invece $ : 1;2 $.
[$+-i $ sarebbero radici dell'equazione caratteristica se l'eq. diff. fosse ad esempio $y''(x)+y(x) = sinx $]
Si deve quindi ipotizzare una soluzione particolare del tipo $y_1 = A sinx +Bcosx $ che dopo qualche conto risulta essere $y_1 =1/10 sinx +3/10cosx $.
Ti torna ?
[$+-i $ sarebbero radici dell'equazione caratteristica se l'eq. diff. fosse ad esempio $y''(x)+y(x) = sinx $]
Si deve quindi ipotizzare una soluzione particolare del tipo $y_1 = A sinx +Bcosx $ che dopo qualche conto risulta essere $y_1 =1/10 sinx +3/10cosx $.
Ti torna ?
sisi tornava perfettamente avevo fatto un errore di calcolo... grazie!
avevo fatto un errore di calcolo... grazie!
risolvendo un esercizio, correttamente, ottengo come soluzioni di un polinomio caratteristico $l_1=0,l_2=-\alpha,l_3=i,l_4=-i$
poi proseguo:
se $\alpha=0$
$rArr l_1-> c_1$
$rArr l_2-> c_2x$
$rArr l_3-> e^(\alphax)cos(\betax)=c_3cosx$
$rArr l_4-> e^(\alphax)sen(\betax)=-c_4senx$
$rArr y(x)=c_1+c_2x+c_3cosx-c_4senx$ giusto?
però perchè al mio prof viene $rArr y(x)=c_1+c_2x+c_3cosx+c_4senx$?
poi proseguo:
se $\alpha=0$
$rArr l_1-> c_1$
$rArr l_2-> c_2x$
$rArr l_3-> e^(\alphax)cos(\betax)=c_3cosx$
$rArr l_4-> e^(\alphax)sen(\betax)=-c_4senx$
$rArr y(x)=c_1+c_2x+c_3cosx-c_4senx$ giusto?
però perchè al mio prof viene $rArr y(x)=c_1+c_2x+c_3cosx+c_4senx$?
Non c'è alcuna differenza tra $-c_4 senx $ e $ +c_4 senx $ in questo contesto in quanto $c_4 $ è un parametro che può assumere qualunque valore , positivo o negativo...se tu lo consideri positivo , il prof lo considera negativo e viceversa.
ok grazie... un altra cosa...
l'esercizio è $y^4(x)+\alphay^3+y^2(x)+\alphay^1(x)=0$
le soluzioni sono quelle che ho postato prima... poi negli appunti del prof (presi male purtroppo, e quindi non capiti0) c'è scritto:
soluzione banale (nulla) tende a zero per x che tende a $+oo$
tendono a zero le soluzioni con $c1,c3,c4=0$ e $c2!=0$ perchè $\alpha>0$
determinare adesso le soluzioni limitate in $(-oo,0)$
1° caso basta che sia $c2=0$,
2° caso va bene anche $c2!=0$ purchè $\alpha<0$
cosa vuol dire il tutto?
l'esercizio è $y^4(x)+\alphay^3+y^2(x)+\alphay^1(x)=0$
le soluzioni sono quelle che ho postato prima... poi negli appunti del prof (presi male purtroppo, e quindi non capiti0) c'è scritto:
soluzione banale (nulla) tende a zero per x che tende a $+oo$
tendono a zero le soluzioni con $c1,c3,c4=0$ e $c2!=0$ perchè $\alpha>0$
determinare adesso le soluzioni limitate in $(-oo,0)$
1° caso basta che sia $c2=0$,
2° caso va bene anche $c2!=0$ purchè $\alpha<0$
cosa vuol dire il tutto?
E' meglio scrivere $y^(IV )$ altrimenti $ y^4 $ significa $ y $ alla quarta potenza e non derivata quarta di $y $ .
Le radici del polinomio caratteristico sono ; $ 0, -alpha, i , -i $.
La soluzione generale dell'eq . diff. è quindi $ y(x) = c_1+c_2e^(-alphax)+c_3 cosx +c_4 sin x $ .
** adesso la domanda immagino sia : per quali valori delle costanti , la soluzione $y(x) $ tende a $0 $ per $ x rarr +oo $ ?
- ovviamnete la soluzione banale !! cioè $ y=0 $ ( cioè quando $ c_1=c_2=c_3=c_4 =0 $ ).
- ed anche se $c_1=0 =c_3=c_4 $ con $c_2 $ qualsiaisi purchè sia $ alpha > 0 $ ( così l'esponenziale è infinitesima all'$oo $ ok ?).( se invece $ alpha <0 $ allora l'esponenziale esplode all'$oo$ , ok ? ).
** soluzioni limitate in $( -oo,0 ) $.
- primo caso : deve essere $c_2 =0 $ ( altrimenti per $alpha > 0 $ , $ x rarr -oo $ l'esponenziale esplode e allora va appunto annullato il coefficiente relativo ,ok ?; $sinx , cosx $ sono invece funzioni limitate )
- secondo caso $c_2 ne 0 $ è ok purchè $ alpha < 0 $ perchè l'esponenziale assume valori da $1 rarr 0 $ per $ x $che va da $0 rarr -oo $ .
Le radici del polinomio caratteristico sono ; $ 0, -alpha, i , -i $.
La soluzione generale dell'eq . diff. è quindi $ y(x) = c_1+c_2e^(-alphax)+c_3 cosx +c_4 sin x $ .
** adesso la domanda immagino sia : per quali valori delle costanti , la soluzione $y(x) $ tende a $0 $ per $ x rarr +oo $ ?
- ovviamnete la soluzione banale !! cioè $ y=0 $ ( cioè quando $ c_1=c_2=c_3=c_4 =0 $ ).
- ed anche se $c_1=0 =c_3=c_4 $ con $c_2 $ qualsiaisi purchè sia $ alpha > 0 $ ( così l'esponenziale è infinitesima all'$oo $ ok ?).( se invece $ alpha <0 $ allora l'esponenziale esplode all'$oo$ , ok ? ).
** soluzioni limitate in $( -oo,0 ) $.
- primo caso : deve essere $c_2 =0 $ ( altrimenti per $alpha > 0 $ , $ x rarr -oo $ l'esponenziale esplode e allora va appunto annullato il coefficiente relativo ,ok ?; $sinx , cosx $ sono invece funzioni limitate )
- secondo caso $c_2 ne 0 $ è ok purchè $ alpha < 0 $ perchè l'esponenziale assume valori da $1 rarr 0 $ per $ x $che va da $0 rarr -oo $ .
Knuckles : tutto ok ?
sisi è che non ho più avuto tempo per poter risp... grazie infinite! ciao
grazie infinite! ciao
scusa ma non ho capito perchè alfa deve essere positivo... e cosa vuol dire che l'esponenziale esplode?
"Knuckles":
scusa ma non ho capito perchè alfa deve essere positivo... e cosa vuol dire che l'esponenziale esplode?
Immagino tu ti riferisca al caso in cui l'esercizio richiede che $y(x) rarr 0 $ per $ x rarr +oo $ .
Che debba essere in tal caso $ c_1=c_3=c_4 = 0 $ questo è evidente , altrimenti mai la funzione avrebbe limite pari a $0 $
per $ x rarr +oo $.
$c_2 $ invece può essere qualsiasi e quindi anche $ne 0 $ cioè $y(x) = c_2 *e^(-alpha x) $.
Infatti questa funzione esponenziale quando tende a $0 $ se $ x $ tende a $+oo$ ? basta sia $ alpha > 0 $ in tal caso infatti $lim_( x rarr +oo) c_2*e^(-alpha x) = 0 $.
Dire che l'esponenzilae esplode è un modo pittoresco per dire che tende all' $oo $ , il che avviene ad es. se $ alpha < 0 $ ; infatti $lim_(x rarr +oo) e^(-alpha x ) = +oo$.
grazie alla fine avevo capito...
alla fine avevo capito...
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