Eq. differenziali e g(x)

[rocco.g1]

Ciao!
Studiando le eq. differenziali mi sono venuti dei dubbi e mi sono bloccato su alcune questioni.
Dunque... se prendiamo in esame un'equazione differenziale del secondo ordine non omogenea, le sue soluzione sono dati dalle soluzioni dell'equazione omogenea associata più una soluzione che soddisfa l'equazione completa.
Per quella omogenea non ci sono grosse difficoltà, basta considerare il polinomio p(lambda) associato all'eq. omogenea e trovarne le radici. Non so come trattare g(x) se non è in forma di polinomio.

Ho inidividuato i seguenti casi:
g(x) = 1 + e^x
g(x) = xe^x
g(x) = e^x + sinx

non so come fare a gestire questi casi dato che g(x) non è un semplice polinomio in quanto compare anche l'esponenziale e la funzione trigonemetrica...

Ad esempio mi ero messo a risolvere questa:

y(secondo) + 2y(primo) + 2y = 1 + e^(-x)

in questo caso g(x) = 1 + e^(-x) come lo devo gestire ?

So che dipende anche dalle radici dell'equazione omogena associata, ma non so come fare... qualcuno di voi mi fornirebbe gentilmente delle delucidazioni in merito, non so uno schemino... o una qualche cosa che mi faccia capire come agire di caso in caso...

Grazie!

[david_e1]

Se g(x) e' il termine dell'equazione non omogenea e u(x) e' una soluzione della non omogenea

1.

g(x) = P_m(x) exp( a x )

Dove P_m e' un polinomio di grado m.

u(x)=Q_m(x) exp ( a x )        se a non e' una radice del poli. caratt.

u(x)=x^k Q_m(x) exp( a x )     se a e' una radice di molt. k

2.

g(x) = P_m(x) exp( a x ) sin (b x)

u(x) = [Q_m(x) sin (b x) + R_m(x) cos (b x)] exp(a x)
se a+-ib non sono radici del poli. caratt.

altrimenti basta moltiplicare per x elevato alla molteplicita'


PS: In realta' il secondo caso e' un sottocaso del primo ottenuto ricordandosi le identita' fra le funzioni trigonometriche e le esponenziali di numeri complessi.

[rocco.g1]

ok... credo di aver capito...

Grazie!
se ho dubbi... ( spero di non averne ) ti faccio sapere

[rocco.g1]

Allora ci sono molte cose che non mi sono chiare.
La regola sul libro è troppo poco chiara

Riassumo i casi che mi creano confusione:

1) Caso con g(x) = polinomio con e^(alfa)x
1.1) Le radici sono reali e distinte e diverse da alfa, scrivo g(x) come un polinomio di grado uguale a quello del polinomio di g(x) con i coeffecienti a,b,c... da determinare
1.2) Le radici sono reali, distinte, ma una di queste è uguale ad alfa, scrivo g(x) come nel caso 1.1 solo che devo moltiplicare il tutto per x^h dove h è la molteplicità algebrica della radice che è uguale ad alfa ? cioè se la radici escono reali, uguali tutte e due ad alfa, allora in questo caso h= 2 perchè le radici sono doppie ?
1.3) Le radici sono immaginarie, che faccio ?

2)Caso g(x) = funzione in seno e coseno.
2.1) Se le radici sono immaginarie, come scrivo g(x) ?
2.2) Se sono uguali ?

3) Caso in cui g(x) contiene sia l'esponenziale che qualcosa di trigonometrico
3.1) non so proprio come comportarmi.

Qualcuno mi spiega bene come funziona la cosa ? non sto riuscendo proprio a capire, sul marcellini sbordone ci sono degli esercizi, ma sono poco chiari e confusi...
Magari non so, se c'è qualke pdf in rete che spiega come comportarsi nei vari casi, perchè io proprio ci sto capendo poco!

Please...

[rocco.g1]

Ieri sera ho raggiunto da solo l'illuminazione, quindi non c'è bisogno che rispondiate al topic

Praticamente il problema dell'imcomprensione era nel fatto che usavo tre libri in cui vi era riportata la stessa spiegazione però usavano gli stessi indici per cose diverse per cui non riuscivo a capire... !!! poi ieri sera... ho fatto mente locale ed ho capito...

sono faciline...

Ciao e grazie lo stesso!