Eq. differenziali a coefficienti omogenei
Ciao a tutti 
qualcuno potrebbe dirmi cosa sono le eq. differenziali a coefficienti omogenei? Sul mio libro non trovo nulla a tal proposito,ma sono segnate nel programma assegnatomi! Grazie
qualcuno potrebbe dirmi cosa sono le eq. differenziali a coefficienti omogenei? Sul mio libro non trovo nulla a tal proposito,ma sono segnate nel programma assegnatomi! Grazie
Risposte
Non è che forse intendi equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti?
Nono quelle le ho già fatte! Sul programma sono riportate proprio come le ho chiamate;le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti sono un altro punto del programma!Ho fatto anche un po' di ricerche sul web,ma non ho trovato nulla!
Ma forse intende le equazioni differenziali del tipo
\[y'(t)=\frac{P(t,y(t))}{Q(t,y(t))}\]
con $P(t,y(t)), \ Q(t,y(t))$ polinomi omogenei dello stesso grado[nota]Un polinomio di dice omogeneo se i monomi che lo compongono sono dello stesso grado. Se entramdi sono omogenei ed hanno lo stesso grado allora siamo di fronte ad un'equazione differenziale omogenea.[/nota].
Per la risoluzione, dopo aver supposto $t\ne 0$ possiamo ricondurci ad un'equazione differenziale della forma:
\[y'(t)=g\left(\frac{y(t)}{t}\right);\tag 1\]
dividendo tutti i termini dei due polinomi per $t$ elevato alla potenza di grado massimo con cui esso compare. Fatto questo poniamo
\[z(t)=\frac{y(t)}{t}\]
da cui
\[y(t)=t\cdot z(t)\]
e quindi, derivando:
\[y'(t)=1\cdot z(t)+t\cdot z'(t)=z(t)+tz'(t)\]
Sostituendo quanto ottenuto in $( 1):$
\[z(t)+tz'(t)=g(z(t)),\]
ovvero
\[z'(t)=\left(g(z(t))-z(t)\right)\cdot\frac{1}{t},\]
che è un'equazione differenziale a variabili separabili.
\[y'(t)=\frac{P(t,y(t))}{Q(t,y(t))}\]
con $P(t,y(t)), \ Q(t,y(t))$ polinomi omogenei dello stesso grado[nota]Un polinomio di dice omogeneo se i monomi che lo compongono sono dello stesso grado. Se entramdi sono omogenei ed hanno lo stesso grado allora siamo di fronte ad un'equazione differenziale omogenea.[/nota].
Per la risoluzione, dopo aver supposto $t\ne 0$ possiamo ricondurci ad un'equazione differenziale della forma:
\[y'(t)=g\left(\frac{y(t)}{t}\right);\tag 1\]
dividendo tutti i termini dei due polinomi per $t$ elevato alla potenza di grado massimo con cui esso compare. Fatto questo poniamo
\[z(t)=\frac{y(t)}{t}\]
da cui
\[y(t)=t\cdot z(t)\]
e quindi, derivando:
\[y'(t)=1\cdot z(t)+t\cdot z'(t)=z(t)+tz'(t)\]
Sostituendo quanto ottenuto in $( 1):$
\[z(t)+tz'(t)=g(z(t)),\]
ovvero
\[z'(t)=\left(g(z(t))-z(t)\right)\cdot\frac{1}{t},\]
che è un'equazione differenziale a variabili separabili.
Sì,grazie credo che sia proprio questo quello che cercavo!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo