Eq. Differenziali 2° ordine ($\lambda,\muinCC$)
Sto trattando questo argomento che personalmente trovo un po' ostico, nonostante non abbia avuto particolari problemi fino ad ora con le euazioni differenziali.
Sto parlando delle equazioni differenziali, del secondo ordine, a coefficienti costanti, complete, del tipo:
[size=120] $y''+ay'+by=q_n(x)e^(\mux)$[/size]
Nel caso in cui $\muinCC$
Ho provato a leggere il capitolo del libro ma mi confonde solo ulteriormente le idee, e purtroppo, non ho assistito alla lezione.
In mente mi si figurano 3 divesi casi, uno dei quali si dirama in altre 3 possibili alternative:
1) $\mu$ non è autovalore dell'omogenea associata
.............1.1) $\mu$ non è autovalore dell'omogenea associata, che ha 2 autovalori reali
.............1.2) $\mu$ non è autovalore dell'omogenea associata, che ha 1 autovalore reale doppio
.............1.3) $\mu$ non è autovalore dell'omogenea associata, che ha 2 autovalori complessi coniugati
2) $\mu$ è autovalore dell'omogenea associata, con molteplicità 1
3) $\mu$ è autovalore dell'omogenea associata, con molteplicità 2
Sto parlando delle equazioni differenziali, del secondo ordine, a coefficienti costanti, complete, del tipo:
[size=120] $y''+ay'+by=q_n(x)e^(\mux)$[/size]
Nel caso in cui $\muinCC$
Ho provato a leggere il capitolo del libro ma mi confonde solo ulteriormente le idee, e purtroppo, non ho assistito alla lezione.
In mente mi si figurano 3 divesi casi, uno dei quali si dirama in altre 3 possibili alternative:
1) $\mu$ non è autovalore dell'omogenea associata
.............1.1) $\mu$ non è autovalore dell'omogenea associata, che ha 2 autovalori reali
.............1.2) $\mu$ non è autovalore dell'omogenea associata, che ha 1 autovalore reale doppio
.............1.3) $\mu$ non è autovalore dell'omogenea associata, che ha 2 autovalori complessi coniugati
2) $\mu$ è autovalore dell'omogenea associata, con molteplicità 1
3) $\mu$ è autovalore dell'omogenea associata, con molteplicità 2
Risposte
Provo a fare degli esempi per i vari casi .
*1.1) $y '' +y '-6 =e^(5x) $ ;2 autovalori reali distinti $lambda= (2 , -3) $ ;$mu ne (2, -3) $ ad es. $mu = 5 $
*1.2) $ y '' -8y ' +16 =-7 xe^x $ ;1 autovalore reale doppio $ lambda = 4 $ ;$ mu ne 4 $ ad es. $mu = 1 $
*1.3) $ y '' +y ' +1 =15x e^(3+2i) $ ;2 autovalori complessi coniugati $lambda = 1/2(-1+-sqrt(3)i) $ ;$ mu ne 1/2(-1+-sqrt(3)i) $ ad es, $ mu = 3+2i$.
* 2) $y ''+y '-6= 3xe^(2x)$ ; $mu = 2 $ che è uguale a uno degli autovalori dell'equazione omogenea.
*3) $ y '' -8y ' +16 = 5x e^(4x) $ ; $ mu = 4 $ che è uguale all'autovalore doppio dell'omogenea .
Per questi vari casi, come vedrai nel testo, le soluzioni sono differenti e si ottengono con procedimenti opportuni.
*1.1) $y '' +y '-6 =e^(5x) $ ;2 autovalori reali distinti $lambda= (2 , -3) $ ;$mu ne (2, -3) $ ad es. $mu = 5 $
*1.2) $ y '' -8y ' +16 =-7 xe^x $ ;1 autovalore reale doppio $ lambda = 4 $ ;$ mu ne 4 $ ad es. $mu = 1 $
*1.3) $ y '' +y ' +1 =15x e^(3+2i) $ ;2 autovalori complessi coniugati $lambda = 1/2(-1+-sqrt(3)i) $ ;$ mu ne 1/2(-1+-sqrt(3)i) $ ad es, $ mu = 3+2i$.
* 2) $y ''+y '-6= 3xe^(2x)$ ; $mu = 2 $ che è uguale a uno degli autovalori dell'equazione omogenea.
*3) $ y '' -8y ' +16 = 5x e^(4x) $ ; $ mu = 4 $ che è uguale all'autovalore doppio dell'omogenea .
Per questi vari casi, come vedrai nel testo, le soluzioni sono differenti e si ottengono con procedimenti opportuni.
Innanzitutto grazie per gli esempi.
Ma ero alla ricerca di una spiegazione teorica, anche di un link a qualche lezione online (magari di matematicamente stesso).
Perchè ho avuto sia la sfortuna di non aver parteciato alla lezione, che quella di non riuscire a trovare una videolezione sul portale del Politecnico, perchè esula un po' dal programma.
Ma ero alla ricerca di una spiegazione teorica, anche di un link a qualche lezione online (magari di matematicamente stesso).
Perchè ho avuto sia la sfortuna di non aver parteciato alla lezione, che quella di non riuscire a trovare una videolezione sul portale del Politecnico, perchè esula un po' dal programma.
Puoi guardare le dispense e gli esercizi del prof.Perelli Cippo -Polimi in questa pagina
http://www.mate.polimi.it/viste/student ... mento=1323
Dispense -equadiff.pdf ( da pag 4 )
Esercitazione- Esercizieqdiff2.pdf
Se hai problemi chiedi..
http://www.mate.polimi.it/viste/student ... mento=1323
Dispense -equadiff.pdf ( da pag 4 )
Esercitazione- Esercizieqdiff2.pdf
Se hai problemi chiedi..
Prova a guardare queste videolezioni del consorzio Nettuno (lez 18 e 19 )
http://www.consorzionettuno.it/nettuno/ ... ateria=379
http://www.consorzionettuno.it/nettuno/ ... ateria=379
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