Eq. differenziale..chiarimento esempio su metodo di Lagrange..

[21zuclo]

Ciao a tutti, oggi mi sono guardato il metodo di Lagrange (o variazione delle costanti) delle eq. differenziali. Però ho un dubbio. Aiutatemi per favore..

questo è un esempio.. dice di trovare l'integrale generale di $ y''(x)+y(x)=(1)/(\cos x) $ con $ x\in (-\pi/2,\pi/2) $

trova le soluzioni della sua omogenea.. che sono $ y(x)=c_1\cos(x)+c_2 \sin(x) $

quindi dice che abbiamo $ y_1=\cos(x), y_2=\sin (x) $

si calcola il Wronskiano $ det W(x)=det ( ( \cos x , sin x ),( -\sin x , cos x ) )=1 $

quindi si ha

$ c_1=\int (-\sin x)(1)/(\cos x)dx =\ln(|cos x|)=\ln(\cos x) $
$ c_2= \int \cos(x)(1)/(cos x)dx=x $

Fino a qui tutto OK..il problema è alla fine quando dice

quindi l'integrale generale è $ y(x)=(\ln(\cos x))\cos(x)+x \sin x $

MA scusate.. non manca un pezzo?.. io avrei scritto che l'integrale generale è

$ y(x)=c_1 cos(x)+c_2 \sin x+(\ln(\cos x))\cos(x)+x \sin x $

[Emar1]

Beh ma le costanti \(c_1,c_2\) le hai appena calcolate, perché le lasci incognite?

[55sarah]

e invece è esatto che l'integrale generale di $y''(x)+y(x)=(1)/(\cos x)$

è y(x) = a cos x + b sinx+ cosx log(cos x)+x\sin x

perche' prima ti sei trovato l'espressione omogenea.. e poi con il metodo di Lagrange ti sei trovato l'integrale particolare..