Eq differenziale veramente difficile(per me impossibile) DX
mi sono trovato di fronte questa equazione differenziale:
$2y*y''+2(y')^2=e^(y^2)$ (attenzione non $....=(e^y)^2=e^(2y))$
All'inizio mi era venuto in mente che la parte a sinistra dell'uguale poteva essere due volte la derivata di $y*y'$, però a questo punto avrei dovuto procedere integrando $e^(y^2)$ e a quanto ne so io è impossibile con metodi tradizionali...!!! :@
quindi sono andato dal prof e lui mi ha detto di provare con una sostituzione del tipo $(y'=p)$, da cui viene fuori inverrtendo la $y' -> x=(y')^(-1)(p) -> v(p)=y((y')^(-1)(p))$ questo è necessario per poter sostituire anche la funzione y non derivata all'esponete della $e$ a destra dell'uguale.
Dopo alcuni calcoli la nostra eq diff diventa della forma: $2(p/(v'))v+2p^2=e^(v^2)$ dove $p$ è la variabile indipendente e $v$ la funzinoe incognita, a questo punto il prof mi ha detto: questa è un eq del primo ordine riconducibile in forma normale quindi risolvibile........ Però io non riesco a risolverla... :@ aiutooooo....datemi una mano...!!!!
$2y*y''+2(y')^2=e^(y^2)$ (attenzione non $....=(e^y)^2=e^(2y))$
All'inizio mi era venuto in mente che la parte a sinistra dell'uguale poteva essere due volte la derivata di $y*y'$, però a questo punto avrei dovuto procedere integrando $e^(y^2)$ e a quanto ne so io è impossibile con metodi tradizionali...!!! :@
quindi sono andato dal prof e lui mi ha detto di provare con una sostituzione del tipo $(y'=p)$, da cui viene fuori inverrtendo la $y' -> x=(y')^(-1)(p) -> v(p)=y((y')^(-1)(p))$ questo è necessario per poter sostituire anche la funzione y non derivata all'esponete della $e$ a destra dell'uguale.
Dopo alcuni calcoli la nostra eq diff diventa della forma: $2(p/(v'))v+2p^2=e^(v^2)$ dove $p$ è la variabile indipendente e $v$ la funzinoe incognita, a questo punto il prof mi ha detto: questa è un eq del primo ordine riconducibile in forma normale quindi risolvibile........ Però io non riesco a risolverla... :@ aiutooooo....datemi una mano...!!!!
Risposte
che in termini di x y diventa così per capirci?
$ y'=(2y)/(x(e^(y^2)-2x^2)) $
sembra di primo grado a variabili non separabili
$ y'=(2y)/(x(e^(y^2)-2x^2)) $
sembra di primo grado a variabili non separabili
emmm...non proprio, a me viene (richiamando p=x e v=y a quanto ho capito da come l'hai riscritta tu):
$y'=(2xy)/(e^(y^2)-2x)$ che però rimane dello stesso tipo che dici tu: di primo grado a variabili NON separabili.....e quindi come si può procedere...!?!??!
$y'=(2xy)/(e^(y^2)-2x)$ che però rimane dello stesso tipo che dici tu: di primo grado a variabili NON separabili.....e quindi come si può procedere...!?!??!
mi chiedo se sia lecito risolverlo così
$ y'-(xy)/(...)=(xy)/(e^(y^2)-2x^2) $
poi applichi la formula
$ y=e^(-int a(x)) {int b(x) e^(int a(x))dx} $
la mia è un ipotesi
$ y'-(xy)/(...)=(xy)/(e^(y^2)-2x^2) $
poi applichi la formula
$ y=e^(-int a(x)) {int b(x) e^(int a(x))dx} $
la mia è un ipotesi
In generale quando si vuole risolvere un'equazione differenziale del tipo [tex]$F(y,y',y'')=0$[/tex] (dove non c'è dipendenza esplicita dalla [tex]$x$[/tex]) si procede così: si pone [tex]$y'(x)=z(y)$[/tex] (dove si pensa ad un cambio tanto nella variabile indipendente che in quella dipendente), per cui si ottiene pure
[tex]$y''(x)=\frac{d z}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=z'\cdot y'=z'\cdot z$[/tex]
per cui l'equazione diventa della forma [tex]$F(y,z,z\cdot z')=0$[/tex] (che adesso risulta una equazione del primo ordine nella variabile [tex]$z$[/tex] dipendente dalla [tex]$y$[/tex]). Nel tuo caso ottieni allora l'equazione
[tex]$2yzz'+2z^2=e^{y^2}$[/tex]
che puoi riscrivere come (supponendo [tex]$y\ne 0,\ z\ne 0$[/tex])
[tex]$z'+\frac{z}{y}=\frac{1}{2y} e^{y^2}\ z^{-1}$[/tex]
che è una equazione differenziale di Bernoulli di esponente [tex]$\alpha=-1$[/tex] (che dovresti riuscire a risolvere facilmente). Prova un po' a vedere.
[tex]$y''(x)=\frac{d z}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=z'\cdot y'=z'\cdot z$[/tex]
per cui l'equazione diventa della forma [tex]$F(y,z,z\cdot z')=0$[/tex] (che adesso risulta una equazione del primo ordine nella variabile [tex]$z$[/tex] dipendente dalla [tex]$y$[/tex]). Nel tuo caso ottieni allora l'equazione
[tex]$2yzz'+2z^2=e^{y^2}$[/tex]
che puoi riscrivere come (supponendo [tex]$y\ne 0,\ z\ne 0$[/tex])
[tex]$z'+\frac{z}{y}=\frac{1}{2y} e^{y^2}\ z^{-1}$[/tex]
che è una equazione differenziale di Bernoulli di esponente [tex]$\alpha=-1$[/tex] (che dovresti riuscire a risolvere facilmente). Prova un po' a vedere.
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