Eq. differenziale - teorema di Cauchy

[indovina]

Ho appena iniziato lo studio dell'equazioni differnziale lineari del primo ordine. [la teoria ovviamente]

Si parte dal teorema che afferma che :
tutte le soluzioni dell'equazione differenziale:
$y' = a(x) y + b(x)$
sono espressa da:
$y(x) = e^A(x) (\int (e^(-A(x))) b(x) dx )$

dove $A'(x)=a(x)$


ora il teorema di Cauchy già mi da problemi, nel senso che non capisco le variabili che vengono usate, ovvero:

Siano $a(x)$ e $b(x)$ funzioni continue nell'intervallo chiuso e limitato $I$, e sia $x_0$ appartenente ad $I$.
Per ogni $y_0$ di esiste una sola funzione $y(x)$ soluzione del problema:

$y'= a(x) y + b(x)$
$y(x_0)=y_0$

la soluzione si rifà al teorema precedente quindi:
$y(x) =( e^(\int a(t) dt) )(y_0 + \int e^(-\int (a(s) ds)) b(t)*dt)$

ora il promo integrale ha intervallo di integrazione: $[x_0 ; x]$
mentre $\int e^(-\int (a(s) ds))$ è integrato in $[x_0; x]$
e $(-\int (a(s) ds))$ ha intervallo di integrazione $[x_0; t]$

questi non li capisco.

potete spiegarmi da come si capisce che vanno integrati proprio in quegli intervalli? Grazie.

[Kyl1]

E' una questione di "variabili mute" secondo me. Per arrivare a quella relazione parti dal fatto che $D(y(x)e^(-A(x))) = b(x)e^(-A(x))$ e qui $A(x)$ è una primitiva di $a(x)$, ovvero $int_(x_0)^x a(t)dt$ (con la variabile $x$ come estremo superiore d'integrazione, da Torricelli-Barrow etc.). A questo punto ciò che vai a fare è integrare questa relazione (la prima che ho scritto) tra $x_0$ e $x$: $int_(x_0)^x D(y(s)e^(-A(s))) ds = int_(x_0)^x b(s)e^(-A(s)) ds$ e qui hai che $A(s) = int_(x_0)^s a(t)dt$. A questo punto la parte a sinistra di diventa $y(x)e^(-A(x)) - y(x_0)$ e ci sei... è importante notare che in tutto queste le variabili su cui si integra sono arbitrarie, fintanto che sono uguali tra loro. Nella parte a destra dell'equazione $A(s)$ ha come estremo superiore d'integrazione $s$ perché $A$ dipende dalla sua variabile mediante l'estremo superiore d'integrazione, avrei potuto scrivere equivalentemente quella parte come $int_(x_0)^x b(v)e^(-A(v)) dv$ e allora l'intervallo di integrazione di $A$ diventava $[x_o,v]$...