Eq differenziale- studio locale

[mauri54]

Ciao a tutti.
Sapreste mica darmi una mano su questo es?
Consideriamo il seguente problema di Cauchy
$ { ( y'=3(y^2-1)x^2 ),( y(0)=2 ):} $

Senza risolvere l'equazione differenziale , determinare, se esiste, un intorno in cui \( h(x)=\displaystyle\frac{y_*-2}{x} \) è concava, dove \( y_* \) è la soluzione del problema di Cauchy.

Ho provato a fare la derivata seconda di $h$ ma viene un casino da studiare. Di solito per esercizi di questo tipo si usa la permanenza del segno...
Voi come lo fareste?

Grazie!!

[elvis3]

Ciao.

Con la permanenza del segno, vedo che \(y_*\) è strettamente crescente in un intorno di \(x=0\).
Dunque \(x=0\) è un punto di minimo locale forte per \(h\).

[mauri54]

"elvis":
Con la permanenza del segno, vedo che \(y_*\) è strettamente crescente in un intorno di \(x=0\).
Dunque \(x=0\) è un punto di minimo locale forte per \(h\).

Ciao elvis, grazie per la risposta. Tuttavia non mi è molto chiaro. Come fai a vedere che è strettamente crescente?
La derivata dovrebbe essere:
\( h'(x)=\displaystyle\frac{y_*'x-(y_*-2)}{x^2}=\frac{3(y_*^2-1)x^3-y_*+2}{x^2} \)

Per essere un minimo dovrebbe esserci anche un intorno sinistro di 0 in cui la funzione è str. decrescente. No?

[elvis3]

È \(y_*\) a essere strettamente crescente in un intorno di \(x=0\).

In particolare hai \(y_*(0+\varepsilon) > 2\) e \(y_*(0-\varepsilon) < 2\); dunque \(h(\pm \varepsilon)>0\) e \(h(x) \to 0\) per \(x \to 0\).

[mauri54]

"elvis":È \(y_*\) a essere strettamente crescente in un intorno di \(x=0\).

In particolare hai \(y_*(0+\varepsilon) > 2\) e \(y_*(0-\varepsilon) < 2\); dunque \(h(\pm \varepsilon)>0\) e \(h(x) \to 0\) per \(x \to 0\).

Ok ora ho capito il tuo ragionamento.
Però la cosa che mi turba è che \( x=0 \) non sta nel dominio di \( h \) quindi non posso affermare sia un minimo di \( h \).
\( h \) potrebbe andare verso 0 da entrambi i lati come se fosse un una cuspide e poi non toccare 0. In quel caso sarebbe concava. No?
Però risolvendo l'eq diff e guardando la soluzione il comportamento locale in 0 è come quello del minimo anche se il minimo non c'è. Quindi la risposta al quesito sarebbe che non esiste un intorno di 0 in cui \( h \) è concava.

[elvis3]

Ciò che basta notare è che in ogni intorno di \(x=0\) ci sono tre punti \(a Per mostrarlo si può utilizzare il fatto che \(h>0\) in \([-\varepsilon,\varepsilon] \setminus \{0\}\) e che \(\lim_{x \to 0}h(x) = 0\).

[mauri54]

"elvis":Ciò che basta notare è che in ogni intorno di \(x=0\) ci sono tre punti \(a Per mostrarlo si può utilizzare il fatto che \(h>0\) in \([-\varepsilon,\varepsilon] \setminus \{0\}\) e che \(\lim_{x \to 0}h(x) = 0\).

Abbi pazienza ma non capisco il perché dovrei mostrare quello.
Anche se ho una funzione, come dicevo prima, che si comporta come una cuspide in 0 (anche se effettivamente in 0 non c'è nulla) ho il risultato che dici tu.
Potresti mica esplicitare i conti? così vediamo se capisco la tua dimostrazione.
Grazie mille

ps: il grafico della funzione da studiare l'ho allegato al post. E' convessa in un intorno di 0. Quindi non può esistere un intorno di 0 in cui è $h$ è concava!