Eq. differenziale secondo ordine non omogenea
ho la seguente eq.:
$ y''+2y'-3y=t*e^t $
L'eq caratteristica dell'omogenea associata è $ s^2+2s-3=0 $ che ha come radici $ s=1,s=-3 $ per tanto l'integrale generale della omogenea associata è $ c_1*e^t+c_2*e^-3t $ .
Per trovare le soluzioni della non omogenea come devo interpretare il termine noto??? mi distuba quella $ t $, senza di essa sarebbe un esponensiale o viceversa senza $ e^t $ sarebbe un polinomio di grado 1 e risulterebbe facile !!
$ y''+2y'-3y=t*e^t $
L'eq caratteristica dell'omogenea associata è $ s^2+2s-3=0 $ che ha come radici $ s=1,s=-3 $ per tanto l'integrale generale della omogenea associata è $ c_1*e^t+c_2*e^-3t $ .
Per trovare le soluzioni della non omogenea come devo interpretare il termine noto??? mi distuba quella $ t $, senza di essa sarebbe un esponensiale o viceversa senza $ e^t $ sarebbe un polinomio di grado 1 e risulterebbe facile !!
Risposte
a) si dice esponenziale
b)vedi sul libro di analisi i diversi casi per trovare integrali particolari
c) ti trovi nel caso $e^(st) p_1 (t)$ cioè $e^t$ moltiplicato per un polinomio di grado 1 ,con s=1 radice della equazione caratteristica quindi P(1)=0 ...
b)vedi sul libro di analisi i diversi casi per trovare integrali particolari
c) ti trovi nel caso $e^(st) p_1 (t)$ cioè $e^t$ moltiplicato per un polinomio di grado 1 ,con s=1 radice della equazione caratteristica quindi P(1)=0 ...
Raffaele, senza offesa, ma il libro di teoria l'hai aperto?
O anche un buon eserciziario ce l'hai?
Il termine noto è ancora in "forma comoda" (la forma comoda più generale per un termine noto è del tipo [tex]$e^{\alpha x}\ [p(x)\ \cos \beta x +q(x)\ \sin \beta x]$[/tex], con [tex]$\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$[/tex] e [tex]$p(x),q(x)$[/tex] polinomi) ed il metodo per risolvere il problema dovrebbe essere spiegato su tutti i testi.
Prova a vedere bene.
Se proprio non trovi nulla, cerca sul forum. Ricordo che c'è un mio post abbastanza esplicativo di qualche tempo fa.
O anche un buon eserciziario ce l'hai?
Il termine noto è ancora in "forma comoda" (la forma comoda più generale per un termine noto è del tipo [tex]$e^{\alpha x}\ [p(x)\ \cos \beta x +q(x)\ \sin \beta x]$[/tex], con [tex]$\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$[/tex] e [tex]$p(x),q(x)$[/tex] polinomi) ed il metodo per risolvere il problema dovrebbe essere spiegato su tutti i testi.
Prova a vedere bene.
Se proprio non trovi nulla, cerca sul forum. Ricordo che c'è un mio post abbastanza esplicativo di qualche tempo fa.
si gugo 82 l'ho aperto il libro ed ho trovato anche il tuo post https://www.matematicamente.it/forum/equ ... 25949.html ho letto anche quello!! solo ke non riesco ad interpretare bene quella formula !!
Il mio termine noto è $ t*e^t $ che è in forma comoda $ e^(alphat)[p(t)cosbetat+q(t)sinbetat] $
Qual è $ alpha $ e qual è $ beta $. $ p(t),q(t) $ sono i polinomi. ma qual'è $ p(t) $ e quale $ q(t) $????
Qual è $ alpha $ e qual è $ beta $. $ p(t),q(t) $ sono i polinomi. ma qual'è $ p(t) $ e quale $ q(t) $????
se il termine noto è nella forma $e^(\phi * x) * p_h (x)$ (nel tuo caso $e^(1*t) *t)
con $p_h (x)$ polinomio di grado h
ci sono due casi
se $\phi $ è soluzione dell'equazione caratteristica ($P(\phi)=0$)cioè se è uguale a una delle radici che hai trovato
l'integrale particolare è fatto in un modo (nel tuo caso $\phi =1 è radice)
se nel termine noto compare una $\phi $ che non è radice l'integrale particolare è di un altro tipo
con $p_h (x)$ polinomio di grado h
ci sono due casi
se $\phi $ è soluzione dell'equazione caratteristica ($P(\phi)=0$)cioè se è uguale a una delle radici che hai trovato
l'integrale particolare è fatto in un modo (nel tuo caso $\phi =1 è radice)
se nel termine noto compare una $\phi $ che non è radice l'integrale particolare è di un altro tipo
"raffaele.russo2":
Il mio termine noto è $ t*e^t $ che è in forma comoda $ e^(alphat)[p(t)cosbetat+q(t)sinbetat] $
Qual è $ alpha $ e qual è $ beta $. $ p(t),q(t) $ sono i polinomi. ma qual'è $ p(t) $ e quale $ q(t) $????
Ovviamente [tex]$\alpha =1,\ \beta =0,\ p(t)=t$[/tex] ([tex]$q(t)$[/tex] non c'è bisogno di specificarlo, perchè [tex]$\sin 0=0$[/tex]; però se proprio vuoi, puoi mettere [tex]$q(t)=0$[/tex]).
come dice anticristo il termine noto è una radice dell'equazione caratteristica per cui la soluzione dovrebbe essere del tipo:
$ t*e^(alphat)*q(t) $ giusto???
$ t*e^(alphat)*q(t) $ giusto???
Beh, una funzione non è una radice di un polinomio; casomai i coefficienti [tex]$\alpha,\ \beta$[/tex] individuati dal termine noto sono tali che il numero complesso [tex]$\alpha +\imath\ \beta$[/tex] è radice del polinomio caratteristico.
Ad ogni modo sì, la soluzione è di quel tipo lì; il polinomio [tex]$q(t)$[/tex] è però una costante, perchè il grado di [tex]$t\ q(t)$[/tex] non può superare il massimo tra i gradi dei polinomi che compaiono nel termine noto (che è [tex]$\nu =1$[/tex]).
Perciò tutto sta a determinare la costante [tex]$K$[/tex] in modo che [tex]$Kte^t$[/tex] sia soluzione della tua equazione completa.
Ad ogni modo sì, la soluzione è di quel tipo lì; il polinomio [tex]$q(t)$[/tex] è però una costante, perchè il grado di [tex]$t\ q(t)$[/tex] non può superare il massimo tra i gradi dei polinomi che compaiono nel termine noto (che è [tex]$\nu =1$[/tex]).
Perciò tutto sta a determinare la costante [tex]$K$[/tex] in modo che [tex]$Kte^t$[/tex] sia soluzione della tua equazione completa.
allora ottengo:
$ w(t)=A*t*e^t ,
$ w'(t)=A*e^t +A*t*e^t,
$ w''(t)=2Ae^t+A*t*e^t $ sostituendo :
$ t*e^t=2Ae^t+A*t*e^t+2Ae^t+2A*t*e^t-3A*t*e^t $
$ 4Ae^t=t*e^t $ da cui $ A=1/4t $ e di conseguenza la soluzione della non omogenea è $ 1/4t^2e^t $ per tanto l'integrale gener. dell'eq completa è $ c_1*e^t+c_2*e^(-3t)+1/4t^2*e^t $ ma sul testo il risultato è $ c_1*e^t+c_2*e^(-3t)+1/8t^2*e^t-1/16te^t $ dove sbaglio???
$ w(t)=A*t*e^t ,
$ w'(t)=A*e^t +A*t*e^t,
$ w''(t)=2Ae^t+A*t*e^t $ sostituendo :
$ t*e^t=2Ae^t+A*t*e^t+2Ae^t+2A*t*e^t-3A*t*e^t $
$ 4Ae^t=t*e^t $ da cui $ A=1/4t $ e di conseguenza la soluzione della non omogenea è $ 1/4t^2e^t $ per tanto l'integrale gener. dell'eq completa è $ c_1*e^t+c_2*e^(-3t)+1/4t^2*e^t $ ma sul testo il risultato è $ c_1*e^t+c_2*e^(-3t)+1/8t^2*e^t-1/16te^t $ dove sbaglio???
????
[mod="dissonance"]@raffaele: Ti ricordo (vedi https://www.matematicamente.it/forum/su- ... 41906.html ) che su questo forum non sono ammessi "UP" prima di 24 ore. Tu sei un utente con un congruo numero di messaggi e perciò dovresti saperlo bene: blocco questo thread fino a domattina. [/mod]
Sbloccato.
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