Eq differenziale per me un po' strana
Quale delle seguenti soluzioni soddisfa il problema di Cauchy:
$y^{\prime}=x/y$ con $y(-2)=-1$
Possibili soluzioni:
a) $-sqrt(x^2-3)$
b) $sqrt(x^2-3)$
c) $x^2/2 - 3$
d) $x+1$
----
Io ho provato a risolverla a variabili separabili ma arrivo a:
$y^2=x^2+c$
ora posso fare la radice ad entrambi i membri e continuare con:
$y=x+c$ quindi trovo c=1 allora posso confermare la risposta d)?
Ho come l'impressione di aver sbagliato a risolverla.
$y^{\prime}=x/y$ con $y(-2)=-1$
Possibili soluzioni:
a) $-sqrt(x^2-3)$
b) $sqrt(x^2-3)$
c) $x^2/2 - 3$
d) $x+1$
----
Io ho provato a risolverla a variabili separabili ma arrivo a:
$y^2=x^2+c$
ora posso fare la radice ad entrambi i membri e continuare con:
$y=x+c$ quindi trovo c=1 allora posso confermare la risposta d)?
Ho come l'impressione di aver sbagliato a risolverla.
Risposte
È la a), e si vede sostituendo $y=\sqrt{x^2 - 1}$ nell'equazione differenziale. Quando hai una serie di alternative, non c'è bisogno di risolvere l'equazione differenziale, se non per esercizio.
E comunque, se $y^2 = x^2 + c$, allora $y= \pm \sqrt{x^2 + c}$...
"Tipper":
E comunque, se $y^2 = x^2 + c$, allora $y= \pm \sqrt{x^2 + c}$...
Ciao Tipper!
Si era proprio questo il mio dubbio. Lo sapevo che mi fregava sta cosa, se no non postavo il problema.
Ma in questo caso allora devo considerare la $y= -sqrt{x^2 + c}$ perché lo vedo dalla condizione iniziale?
Quindi $y=-x+c$ allora $c=-3$
Così?
PS: il metodo si sostituire non l'ho capito... Te pareva?!?!?!
Sì.
"Tipper":
È la a), e si vede sostituendo $y=\sqrt{x^2 - 1}$ nell'equazione differenziale. Quando hai una serie di alternative, non c'è bisogno di risolvere l'equazione differenziale, se non per esercizio.
Non mi è chiarissimo... Mi sa che uso il metodo lento... Senza sbagliare si spera!
Forse mi sono spiegato male, non è difficile: allora, l'equazione differenziale è $y' = \frac{x}{y}$.
Ora, io voglio vedere se $y=-\sqrt{x^2-3}$, è soluzione: innanzitutto $y'=-\frac{x}{\sqrt{x^2-3}}$, quindi sostituendo nell'equazione differenziale si ottiene:
$-\frac{x}{\sqrt{x^2-3}} = \frac{x}{-\sqrt{x^2-3}}$
Questa ugualianza è vera, la condizione iniziale è verificata, quindi $y=-\sqrt{x^2-3}$ è soluzione.
Ora, io voglio vedere se $y=-\sqrt{x^2-3}$, è soluzione: innanzitutto $y'=-\frac{x}{\sqrt{x^2-3}}$, quindi sostituendo nell'equazione differenziale si ottiene:
$-\frac{x}{\sqrt{x^2-3}} = \frac{x}{-\sqrt{x^2-3}}$
Questa ugualianza è vera, la condizione iniziale è verificata, quindi $y=-\sqrt{x^2-3}$ è soluzione.
Perfetto! Mi apri la mente pure tu qui dentro!!! Insieme ai vari Luca e Camillo...
GrazzzzziE
GrazzzzziE
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