Eq. differenziale lineare omogenea di ordine 4
Salve a tutti,
alcuni giorni fa studiando mi sono imbattuto in questa equazione:
$phi(r)^(IV)+2(phi(r)^(III))/r-(phi(r)^(II))/r^2+(phi(r)^(I))/r^3=0;$
ho provato a cercare la soluzione generale sostituendo la variabile incognita in $r=e^t$ ma non sono riuscito a concludere nulla.
Qualcuno saprebbe almeno darmi qualche indicazione su come procedere per provare a tentare di risolvere questa equazione?
Grazie!
alcuni giorni fa studiando mi sono imbattuto in questa equazione:
$phi(r)^(IV)+2(phi(r)^(III))/r-(phi(r)^(II))/r^2+(phi(r)^(I))/r^3=0;$
ho provato a cercare la soluzione generale sostituendo la variabile incognita in $r=e^t$ ma non sono riuscito a concludere nulla.
Qualcuno saprebbe almeno darmi qualche indicazione su come procedere per provare a tentare di risolvere questa equazione?
Grazie!
Risposte
Ciao AbIovePrincipium,
Benvenuto sul forum!
Personalmente farei così... Prima moltiplicherei tutto per $r^4 > 0$, ottenendo così l'equazione differenziale seguente:
$r^4 phi^{(4)}(r)+2r^3 phi^{(3)}(r)-r^2 phi^{(2)}(r)+ r phi^{(1)}(r) = 0$
Poi ipotizzerei una soluzione del tipo $\phi(r) = r^{\lambda}$ che, inserita nell'equazione differenziale appena scritta, conduce ad una equazione caratteristica di quarto grado in $\lambda$ che, se risolta, fornisce i $4$ valori di $\lambda$...
Benvenuto sul forum!
Personalmente farei così... Prima moltiplicherei tutto per $r^4 > 0$, ottenendo così l'equazione differenziale seguente:
$r^4 phi^{(4)}(r)+2r^3 phi^{(3)}(r)-r^2 phi^{(2)}(r)+ r phi^{(1)}(r) = 0$
Poi ipotizzerei una soluzione del tipo $\phi(r) = r^{\lambda}$ che, inserita nell'equazione differenziale appena scritta, conduce ad una equazione caratteristica di quarto grado in $\lambda$ che, se risolta, fornisce i $4$ valori di $\lambda$...
Sono ovviamente d'accordo con pilloeffe sulla soluzione. Queste equazioni si dicono "di Eulero" e ne avevamo parlato, per esempio, qui: viewtopic.php?f=36&t=133613
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