Eq. differenziale di Eulero
Sia data l'equazione differenziale lineare omogenea
(*) $2x^2*y''(x)+2axy'(x)-ay(x)=0$
a) $AAainRR$, determinare l'insieme delle soluzioni dell'equazione (*) in $(0,+oo)$.
b) $AAainRR$, determinare l'insieme delle soluzioni dell'equazione (*) in $(-oo, 0)$.
c) $AAainRR$, determinare l'integrale generale (e cioè l'insieme delle soluzioni in $RR$) dell'equazione (*).
d) $AAainRR$, determinare la dimensione dell'integrale generale dell'equazione (*).
Le soluzioni dovranno essere del tipo $y(x)=c_1*x^p+c_2*x^q$, ho trovato $p$ e $q$ dipendenti da $a$ dei casi a) e b) ma non mi convincono molto perchè non vengono "belli", ad esempio in a) $p,q=((-a+1)+-sqrt(a^2+1))/2$ e non riesco a capire dove sbaglio.
Domanda: l'integrale generale non è semplicmente l'unione delle soluzioni nei due intervalli $(0,+oo)$ e $(-oo, 0)$ a variare dei 4 parametri $c_1, c_2, c_3, c_4$?
edit: correzione testo esercizio.
(*) $2x^2*y''(x)+2axy'(x)-ay(x)=0$
a) $AAainRR$, determinare l'insieme delle soluzioni dell'equazione (*) in $(0,+oo)$.
b) $AAainRR$, determinare l'insieme delle soluzioni dell'equazione (*) in $(-oo, 0)$.
c) $AAainRR$, determinare l'integrale generale (e cioè l'insieme delle soluzioni in $RR$) dell'equazione (*).
d) $AAainRR$, determinare la dimensione dell'integrale generale dell'equazione (*).
Le soluzioni dovranno essere del tipo $y(x)=c_1*x^p+c_2*x^q$, ho trovato $p$ e $q$ dipendenti da $a$ dei casi a) e b) ma non mi convincono molto perchè non vengono "belli", ad esempio in a) $p,q=((-a+1)+-sqrt(a^2+1))/2$ e non riesco a capire dove sbaglio.
Domanda: l'integrale generale non è semplicmente l'unione delle soluzioni nei due intervalli $(0,+oo)$ e $(-oo, 0)$ a variare dei 4 parametri $c_1, c_2, c_3, c_4$?
edit: correzione testo esercizio.
Risposte
l'integrale generale dovrebbe essere l'unione delle soluzioni nei due intervalli...
perchè le soluzioni devono essere per forza di quel tipo?
perchè le soluzioni devono essere per forza di quel tipo?
comunque a me p,q vengono:
$p,q=((-1-2a)+-sqrt(4a^2+4a+5))/2$
non so se sia giusto... io le eq di eulero le risolvo ponendo $x=e^t$, sostituisco nell'eq di eulero, chiamo $y(e^t)=z(t)$ e attraverso passaggi in cui mi ricavo le derivate prime e seconde ecc ricavo un eq del tipo: $z''(t)+(1+2a)z'(t)-az(t)=0$ più semplice da studiare... da cui ricavo l'eq generale di p,q come scritto sopra.
$p,q=((-1-2a)+-sqrt(4a^2+4a+5))/2$
non so se sia giusto... io le eq di eulero le risolvo ponendo $x=e^t$, sostituisco nell'eq di eulero, chiamo $y(e^t)=z(t)$ e attraverso passaggi in cui mi ricavo le derivate prime e seconde ecc ricavo un eq del tipo: $z''(t)+(1+2a)z'(t)-az(t)=0$ più semplice da studiare... da cui ricavo l'eq generale di p,q come scritto sopra.
si, se cerco le soluzioni in $(o,+oo)$ sostituisto $x=e^t$, se le voglio in $(-oo,o)$ sostituisco $x=-e^t$.
Nel primo caso, facendo i conti:
(*)$=2e^2t*y''(e^t)+2ae^t*y'(e^t)-a*y(e^t)=0$ (HO SBAGLIATO A RICOPIARE QUI IL TESTO: non $x^2*y''(x)+2axy'(x)-ay(x)=0$ ma $2x^2*y''(x)+2axy'(x)-ay(x)=0$)
e l'eq lineare omogenea mi viene $2*z''(t)+(2a-2)*z'(t)-a*z(t)=0$
da cui l'eq associata $2*lambda^2+(2a-2)*lambda-a=0$
Nel primo caso, facendo i conti:
(*)$=2e^2t*y''(e^t)+2ae^t*y'(e^t)-a*y(e^t)=0$ (HO SBAGLIATO A RICOPIARE QUI IL TESTO: non $x^2*y''(x)+2axy'(x)-ay(x)=0$ ma $2x^2*y''(x)+2axy'(x)-ay(x)=0$)
e l'eq lineare omogenea mi viene $2*z''(t)+(2a-2)*z'(t)-a*z(t)=0$
da cui l'eq associata $2*lambda^2+(2a-2)*lambda-a=0$
a ok.. comunque ci sta che l'eq di p,q vengono così "brutte"... c'è il parametro 
si ma di solito gli esercizi con la discussione del parametro sono furbi: nel senso che ci sono degli intervalli per cui si hanno ad esempio un tot di soluzioni eccetera. Qui, se non ho sbagliato i conti è fine a se stesso...
ma l'esercizio non finisce così... ora che hai trovato l'insieme generale delle soluzioni al variare di a, devi discutere a in modo da trovare l'insieme per quali a appartiene a $(-oo,0)U(0,+oo)$
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