Eq. differenziale del secondo ordine

[dazuco]

Potreste darmi un'altra mano su questa equazione?

y'' - y' = (e^x/(e^x + 1))

Io ho proceduto in questo modo
ho risolto l'omogenea associata ed avendo il polinomio caratteristico con determinante positivo (soluzioni a= 0 b=1)
u1(x) = 1
u2(x) = e^x
quindi
l'omogenea ha le seguenti soluzioni y(x) = c1 + c2 * (e^x)
con c1 e c2 costanti

Ora devo trovare una soluzione dell'equaz (metodo di eulero)
ossia imposto il sistema

[h'(x) u1(x)] + [k'(x) u2(x)] = 0
[h'(x) u1'(x)] + [k'(x) u2'(x)] = (e^x/(e^x + 1))

sottraggo la seconda alla prima e ottengo

h'(x) = -((e^x)/(e^x + 1))
k'(x) = 1/(e^x + 1)

Però, ora, sò come risolvere il primo integrale e mi viene
- lg((e^x) + 1) + c
Ma non saprei risolvere il secondo ...
Probabilmente non ho indovinato la risoluzione del sistema

[dazuco]

Forse ho risolto il secondo integrale

ossia

[8D]1/((e^x) + 1) dx è uguale a scrivere
-[8D]1/((e^-x) + 1) d((e^-x) + 1)

quindi con soluzione

- lg((e^-x) + 1) + c

Ricapitolando

l'insieme delle soluzione della equazione differenziale è

y(x) = c1 + (c2 * (e^x)) -lg((e^x) + 1) - lg((e^-x) + 1) + costante

Qualcuno può dirmi se è giusto??
Grazie

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Scusa dazuo, cosa intendi per metodo di eulero? E poi,per trovare la soluzione particolare dell'equazione non potresti pensare ad una soluzione costante? secondo me il risultato è lo stesso e i calcoli più semplici....

[dazuco]

intendo il metodo di variazione delle costanti arbitrarie.
Veramente non conosco il metodo che dici tu.
Potresti illustrarmelo per questo esercizio?
Ti ringrazio

[GIOVANNI IL CHIMICO]

In linea di principio funziona così: noi supponiamo che la funzione y(x) soluzione particolare dell'equazione rappresenti un regime stazionario del sistema e quindi sia un costnte, la derivata prima di una costante è zero, la derivata seconda è zero, allora se f(x) è la parte non omogenea della equazione, basta porla uguale a zero nella soluzione....però ora che guardo meglio la tua equazione mi sorgono dei dubbi se sia conveniente applicarlo in questo caso...

[dazuco]

Ok! Forse ora ho capito quello che dici.
Praticamente si parte da un polinomio generico di grado (il massimo della f(x)) e si calcolano le derivate n-esime fino a quelle del grado + elevato etc etc ....
Ho usato questo metodo quando la f(x) è un polinomio di grado n.
Penso che in questo caso non si possa utilizzare.

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Non è esattamente così, in reltà più che un metodo di tipo matematico si tratta di un metodo "fisico"... ti faccio un esempio, considera un corpo che cade nell'aria, soggetto alla forza peso e alla forza di attrito viscoso, poichè queste due forze sono sulla stessa linea d'azione e hanno verso opposto la forza otale agene sul sistema è la loro differenza, inoltre la forza di ttrito viscoso è proporzionale alla velocità, che è causata dall'azione della forza peso,allora si giungerà ad un punto di equilibrio in cui la velocità di caduta resta costante...e questo stato stazionario è rappresentato da una soluzione particolare dell'equazione, quella ottenuta imponendo che le derivate siano nulle...quello che tu dici è il metodo per trovare la soluzione particolare di una non omogenea ove la prte non omogenea sia un polinomio, il metodo che dico io serve a trovare una soluzione particolre della non omogenea tae che rappresenti uno stato stazionario, nel tuo caso non si può applicare perchè tra le variabili dell'equazione vi sono solo derivate e la variabile indipendente, se comparisse anche y si potrebbe tranquillamente applicare...

[dazuco]

Parli della velocità limite, ossia, se F = -bv (forza di attrito) con b coefficiente e v la velocità allora:
mg -bv = ma
g - (b/m)v = a
e sapendo che a = dv/dt questa si trasforma in eq. differenziale
dv/dt = g - (b/m)v
La velocità limite se ricordo bene si determina
mg -bv = 0 (perchè a=0)
v = (mg)/b

Ma in questo caso la y non sarebbe la v(x)??

[GIOVANNI IL CHIMICO]

si