Eq. differenziale del 2° ordine non omogenea

[tabpozz]

Salve, mi dareste una mano con questa equazione differenziale? Devo trovare l'integrale generale di $y''+3y'+2y=2x-1$.

L'integrale generale ha forma $y=y_0+y_p$; $y_0=c1e^(-x)+c2e^(-2x)$ è semplice da trovare, però non riesco a capire come trovare $y_p$ dato che non si trova, nella forma $P(x)=e^(alphax)$.

Ciao e grazie a tutti in anticipo...

[zannas]

allora

1 - risolvo equazione omogenea
Eq. caratteristica:
`lambda^2 + 3lambda + 2 = 0`
`=> lambda_1 , lamda_2 = (-3 +- sqrt(3^2 - 8))/2`
`=> lambda_1 = -1`
`=> lambda_2 = -2`
allora la soluzione all'eq omogenea è:
`w(x) = c_1 e^(-x) + c_2 e^(-2x)`
2 -ora risolvo l'eq non omogenea
`f(x) = 2x-1`
la confronto con:
`f(x) = e^(ax) * P(x) * sin(bx)` o `f(x) = e^(ax) * P(x) * cos(bx)`
`=> a = 0; b=0; P(x) = 2x-1; z = 0+0i = 0` non è radice dell'equazione caratteristica `=> m = 0`
Sto cercando un'equazione del tipo: `v(x) = e^(ax) * x^m * (Q_1(x) sin(bx) + Q_2(x) cos(bx))`
`=> v(x) = Ax+B`
`y(x) = c_1 e^(-x) + c_2 e^(-2x) + Ax+B`
chiedo comunque conferme

[tabpozz]

"zannas":la confronto con:
`f(x) = e^(ax) * P(x) * sin(bx)` o `f(x) = e^(ax) * P(x) * cos(bx)`
`=> a = 0; b=0; P(x) = 2x-1; z = 0+0i = 0` non è radice dell'equazione caratteristica `=> m = 0`
Sto cercando un'equazione del tipo: `v(x) = e^(ax) * x^m * (Q_1(x) sin(bx) + Q_2(x) cos(bx))`
`=> v(x) = Ax+B`
`y(x) = c_1 e^(-x) + c_2 e^(-2x) + Ax+B`
chiedo comunque conferme

Sinceramente non ho capito granchè... Innanzitutto, perchè nella forma di $f(x)$ ci dovrebbe essere anche un $cosx$ o $sinx$? Inoltre l'equazione dell'integrale particolare dovrebbe essere del tipo $y_p=Q(x)e^(alphax)$, con $Q(x)$ un polinomio dello stesso grado di $P(x)$.

[zannas]

pongo `f(x) = 2x-1` e la confronto con:
`f(x) = e^(ax) * P(x) * sin(bx)` o `f(x) = e^(ax) * P(x) * cos(bx)`
da qui vedo che:
`=> a = 0; b=0; P(x) = 2x-1;`
"creo" `z = 0+0i = 0` e verifico se è radice dell'eq. caratteristica. Non lo è allora pongo `=> m = 0`

Sto cercando un'equazione del tipo: `v(x) = e^(ax) * x^m * (Q_1(x) sin(bx) + Q_2(x) cos(bx))`
`=> v(x) = Ax+B` che è dello stesso grado di `f(x)`
`=> y(x) = c_1 e^(-x) + c_2 e^(-2x) + Ax+B`

è un procedimento generale da seguire

[gugo82]

"tabpozz":[quote="zannas"]la confronto con:
`f(x) = e^(ax) * P(x) * sin(bx)` o `f(x) = e^(ax) * P(x) * cos(bx)`
`=> a = 0; b=0; P(x) = 2x-1; z = 0+0i = 0` non è radice dell'equazione caratteristica `=> m = 0`
Sto cercando un'equazione del tipo: `v(x) = e^(ax) * x^m * (Q_1(x) sin(bx) + Q_2(x) cos(bx))`
`=> v(x) = Ax+B`
`y(x) = c_1 e^(-x) + c_2 e^(-2x) + Ax+B`
chiedo comunque conferme

Sinceramente non ho capito granchè... Innanzitutto, perchè nella forma di $f(x)$ ci dovrebbe essere anche un $cosx$ o $sinx$? Inoltre l'equazione dell'integrale particolare dovrebbe essere del tipo $y_p=Q(x)e^(alphax)$, con $Q(x)$ un polinomio dello stesso grado di $P(x)$.[/quote]
Perchè sussiste il seguente teorema:

Sia Ly=f una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti non omogenea.
Se il termine noto $f$ è nella forma $f(x)=e^(alphax)*[P_1(x)*cos(betax)+P_2(x)*sin(betax)]$, ove $alpha,beta in RR$ e $P_1,P_2$ sono applicazioni polinomiali, allora una soluzione particolare dell'equazione non omogenea $Ly=f$ è nella forma:

(*) $quad y_p(x)=e^(alphax)*[Q_1(x)*cos(beta x)+Q_2(x)*sin(beta x)]$

in cui $Q_1,Q_2$ sono applicazioni polinomiali da determinare il cui grado è il massimo dei gradi di $P_1,P_2$, se $alpha+i*beta$ non è radice del polinomio caratteristico associato all'equazione $Ly=0$, oppure la somma del massimo dei gradi di $P_1,P_2$ e della molteplicità della radice $alpha+i*beta$ del polinomio caratteristico, altrimenti.

Insomma, questo teoremino ti assicura che è possibile trovare soluzioni particolari di una qualunque equazione differenziale lineare a coefficienti costanti se il termine noto ha la forma $e^(alphax)*[P_1(x)*cos(betax)+P_2(x)*sin(betax)]$.
Questo è il tuo caso perchè, come si vede facilmente, risulta:

$2x-1=e^(0*x)*[(2x-1)*cos(0*x)+1*sin(0*x)]$ (quindi $alpha=0=beta$, $P_1(x)=2x+1$ e $P_2(x)=1$).

Applichiamo il teorema: essendo il polinomio caratteristico della tua equazione $lambda^2+3lambda+2$, il numero complesso $alpha+i*beta=0+i*0=0$ non è una radice di tale polinomio; ne consegue che i due polinomi $Q_1,Q_2$ presenti nella (*) hanno grado pari al grado di $2x-1$ e cioè $1$: riesci perciò a scrivere la soluzione che cerchi come:

$y_p(x)=e^(0*x)*[(Ax+B)*cos(0*x)+(Cx+D)*sin(0*x)]=Ax+B$

in cui $A,B in RR$ sono da determinare.
La determinazione dei coefficienti si fa come segue:

1) Calcoli la derivata prima e seconda di $y_p$: $y_p'(x)=A$ e $y_p''(x)=0$;

2) sostituisci $y_p,y_p',y_p''$ nell'equazione e riordini il tutto: $0+3*A+2*(Ax+B)=2x-1$ e fai un po' di passaggi fino ad ottenere $2Ax+(3A+2B)=2x-1$;

3) applichi il Principio di Identità dei Polinomi ed uguagli i coefficienti delle potenze della $x$ d'ugual grado: ottieni così il sistema lineare

$\{(2A=2),(3A+2B=-1):}$

nelle incognite $A,B$;

4) risolvi il sistema lineare trovato in precedenza: dalla prima equazione ricavi immediatamente $A=1$, e quindi $2B=-1-3=-4$ ovvero $B=-2$;

5) sostituisci i valori di $A,B$ trovati sopra nell'espressione di $y_p$ per ottenere la soluzione particolare "definitiva": nel tuo caso è $y_p(x)=x-2$.

Spero di essere stato chiaro.
Buono studio!

[amel3]

"zannas":allora

1 - risolvo equazione omogenea
Eq. caratteristica:
`lambda^2 + 3lambda + 2 = 0`
`=> lambda_1 , lambda_2 = (-3 +- sqrt(3^2 - 8))/2`
`=> lambda_1 = -1`
`=> lambda_2 = -2`
allora la soluzione all'eq omogenea è:
`w(x) = c_1 e^(-x) + c_2 e^(-2x)`
2 -ora risolvo l'eq non omogenea
`f(x) = 2x-1`
la confronto con:
`f(x) = e^(ax) * P(x) * sin(bx)` o `f(x) = e^(ax) * P(x) * cos(bx)`
`=> a = 0; b=0; P(x) = 2x-1; z = 0+0i = 0` non è radice dell'equazione caratteristica `=> m = 0`
Sto cercando un'equazione del tipo: `v(x) = e^(ax) * x^m * (Q_1(x) sin(bx) + Q_2(x) cos(bx))`
`=> v(x) = Ax+B`
`y(x) = c_1 e^(-x) + c_2 e^(-2x) + Ax+B`
chiedo comunque conferme

Il punto 1 mi sembra ok. E' il punto 2 a sembrarmi incasinato.
Quello a cui tu fai riferimento, giusto per far capire a tabpozz, è il cosiddetto metodo della somiglianza (si chiama anche del confronto?)
Solo che qui va usata una sua parte diciamo opportunamente ristretta.
Se abbiamo come termine noto un polinomio $P(x)$, come in questo caso, allora:
a) se 0 è una radice del polinomio caratteristico di molteplicità $s$, allora è necessario cercare una soluzione particolare come un polinomio del tipo:
$x^s q(x)$, $deg(q)=deg(P)$ (cioè $q$ ha lo stesso grado di $P$)
b) se 0 non è una radice del polinomio caratteristico, allora è necessario cercare una soluzione particolare come un polinomio del tipo:
$q(x)$, $deg(q)=deg(P)$

Noi siamo nel caso b.

Ricapitolando il tutto, dunque:


1 - Risolvo equazione omogenea
Eq. caratteristica:
$lambda^2 + 3lambda + 2 = 0$
$=> lambda_1 , lambda_2 = (-3 +- sqrt(3^2 - 8))/2$
$=> lambda_1 = -1$
$=> lambda_2 = -2$
allora la soluzione all'eq omogenea è:
$w(x) = c_1 e^(-x) + c_2 e^(-2x)$

2 - Risolvo l'eq non omogenea
$y_P=A+Bx$
Impongo che $y_P$ sia soluzione:
$3B+2(A+Bx)=2x-1$
Così $A=-2$, $B=1$
e cioè $y_P=-2+x$

Soluzione generale:
$y(x) = c_1 e^(-x) + c_2 e^(-2x)+x-2$

Spero di non aver fatto uno dei miei soliti errori...

[amel3]

Ops... scusa non avevo visto che avevi risposto, comunque lascio, va, Melius abundare...

[gugo82]

"amel":Ops... scusa non avevo visto che avevi risposto, comunque lascio, va, Melius abundare...

Figurati, amel!

Ci troviamo anche col risultato, il che è confortante!

[zannas]

"zannas":pongo `f(x) = 2x-1` e la confronto con:
`f(x) = e^(ax) * P(x) * sin(bx)` o `f(x) = e^(ax) * P(x) * cos(bx)`
da qui vedo che:
`=> a = 0; b=0; P(x) = 2x-1;`
"creo" `z = 0+0i = 0` e verifico se è radice dell'eq. caratteristica. Non lo è allora pongo `=> m = 0`

Sto cercando un'equazione del tipo: `v(x) = e^(ax) * x^m * (Q_1(x) sin(bx) + Q_2(x) cos(bx))`
`=> v(x) = Ax+B` che è dello stesso grado di `f(x)`
`=> y(x) = c_1 e^(-x) + c_2 e^(-2x) + Ax+B`

è un procedimento generale da seguire

mamma my che sbadato, scusami! manca un pezzo!
Noi ora sappiamo che `y(x) = c_1 e^(-x) + c_2 e^(-2x) + Ax + B`
allora:
`y'(x)=-c_1 e^(-x) -2 c_2 e^(-2x) + A`

`y''(x)=c_1 e^(-x) +4 c_2 e^(-2x)`
quindi impongo che
`y''(x)+3y'(x)+2y(x)=2x+1`

`=> c_1 e^(-x) +4 c_2 e^(-2x) - 3c_1 e^(-x) -6 c_2 e^(-2x) +3A+ 2c_1 e^(-x) + 2c_2 e^(-2x) + 2Ax +2B) = 2x-1`
`(c_1 - 3c_1 + 2c_1) e^(-x) + (4c_2 - 6c_2 +2 2c_2) e^(-2x) +3A + 2Ax + 2B = 2x - 1`
`(2A)x + (2B+3A) = (2)x + (-1)`
ora risolvi e trovi:
`A=1; B=-2;`
allora la nostra `y(x) = c_1 e^(-x) + c_2 e^(-2x) + x - 2`
Io x risolvere uso questo metodo. Spero sia corretto e spero di aver fatto correttamente i calcoli nonostante siano le 2.20 di notte e di aver scritto correttamente visto che sto postando col telefono

[paoletto987]

A me invece esce $ y(x)=c_1 e^-x + c_2 e^(-2x) + x - 1 $ credo che sia questo il risultato!nn mi vorrei sbagliare.

[Camillo]

$y = x-2 $ è la soluzione corretta come si può facilmente verificare .

[tabpozz]

"amel":Il punto 1 mi sembra ok. E' il punto 2 a sembrarmi incasinato.
Quello a cui tu fai riferimento, giusto per far capire a tabpozz, è il cosiddetto metodo della somiglianza (si chiama anche del confronto?)
Solo che qui va usata una sua parte diciamo opportunamente ristretta.

Esatto, io son stato abituato così!

Grazie mille a tutti ragazzi...

[franced]

"tabpozz":Salve, mi dareste una mano con questa equazione differenziale? Devo trovare l'integrale generale di $y''+3y'+2y=2x-1$.

Propongo un metodo non insegnato nelle superiori e non molto diffuso neanche nei corsi universitari
(almeno per quanto ne so io..)

Prendiamo la soluzione $y$ scritta nella forma:

$y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + ...$

derivo:

$y' = a_1 + 2 a_2 x + 3 a_3 x^2 + 4 a_4 x^3 + ...$

derivo ancora:

$y'' = 2 a_2 + 6 a_3 x + 12 a_4 x^2 + 20 a_5 x^3 + ...$

metto queste funzioni nell'equazione differenziale $y''+3y'+2y=2x-1$, ottenendo:

$(2 a_2 + 6 a_3 x + 12 a_4 x^2 + 20 a_5 x^3 + ...) + 3 cdot (a_1 + 2 a_2 x + 3 a_3 x^2 + 4 a_4 x^3 + ...) + 2 cdot (a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + ...) = - 1 + 2x$

raccogliendo i termini simili a sinistra si ha:

$\{ (2 a_2 + 3 a_1 + 2 a_0 = -1) , (6 a_3 + 6 a_2 + 2 a_1 = 2) , (12 a_4 + 9 a_3 + 2 a_2 = 0) , () , (...):}$

Si ricavano così tutti i coefficienti $a_k$, meno che due, che devono essere determinati mediante
le condizioni iniziali.

Francesco Daddi