Eq differenziale con soluzioni limitate sull'asse reale...
Salve, un esercizio mi richiede, data l'eq differenziale: $ay''+y=0
di determinare per quali valori di $a!=0$ le soluzioni sono limitate su tutto l'asse reale.
Non ho però compreso a cosa si riferisca in questa richiesta...
Grazie per l'aiuto
di determinare per quali valori di $a!=0$ le soluzioni sono limitate su tutto l'asse reale.
Non ho però compreso a cosa si riferisca in questa richiesta...
Grazie per l'aiuto
Risposte
Le funzioni, soluzioni della equazione differenziale , devono essere limitate per qualunque valore di $x $ , non devono quindi divergere a $+- oo $ .
Quindi funzioni esponenziali non vanno bene mentre funzioni trigonometriche ( $sin alphax,cos betax $e loro combinazioni lineari ) invece....
Quindi funzioni esponenziali non vanno bene mentre funzioni trigonometriche ( $sin alphax,cos betax $e loro combinazioni lineari ) invece....
"Camillo":ok, molte grazie
Le funzioni, soluzioni della equazione differenziale , devono essere limitate per qualunque valore di $x $ , non devono quindi divergere a $+- oo $ .
Quindi funzioni esponenziali non vanno bene mentre funzioni trigonometriche ( $sin alphax,cos betax $e loro combinazioni lineari ) invece....
posto anche l'altra parte della traccia:
determinare, inoltre, per quali valori di $a!=0$ la soluzione y(x) tale che $y(0)=1$ e $y'(0)=0$ ha un MINIMO relativo in x=0.
io ho fatto così:
considero il polinomio caratteristico, e la soluzione è: $lambda=sqrt(+-a)
quindi, escluso il caso $a=0$ per "ipotesi", rimangono i 2 casi:
per $a<0$, si hanno 2 radici reali, quindi nell'integrale soluzione sono presenti delle esponenziali, che non vanno bene perchè "non limitate";
per $a>0$, si hanno 2 radic immaginarie, del tipo: $c_1cos(ax)+c_2sin(ax)$, che invece sono limitate, e quindi vanno bene.
Risolvendo la prima parte del problema di cauchy, avrò:
$y(0)=c_1cos(0)+c_2sin(0)=c_1=1
$y'=ac_2cos(ax)=ac_2=0 ->c_2=0$ oppure $a=0$ (quest'ultimo caso viene escluso per "ipotesi", quindi sarà $c_2=0$
pertanto l'integrale generale del problema di cauchy è la funzione :$y=cos(ax)
allora ho calcolato la derivata prima e posta uguale a 0:
$y'=-asin(ax)=0 -> sin(ax)=0, (-a=0)$, con quest'ultimo caso escluso
quindi diremo che $sin(ax)=0 ->x_1=0+2kpi, x_2=2pi+2kpi, kinZ
pertanto x=0 è un punto di minimo per la funzione, giusto?
determinare, inoltre, per quali valori di $a!=0$ la soluzione y(x) tale che $y(0)=1$ e $y'(0)=0$ ha un MINIMO relativo in x=0.
io ho fatto così:
considero il polinomio caratteristico, e la soluzione è: $lambda=sqrt(+-a)
quindi, escluso il caso $a=0$ per "ipotesi", rimangono i 2 casi:
per $a<0$, si hanno 2 radici reali, quindi nell'integrale soluzione sono presenti delle esponenziali, che non vanno bene perchè "non limitate";
per $a>0$, si hanno 2 radic immaginarie, del tipo: $c_1cos(ax)+c_2sin(ax)$, che invece sono limitate, e quindi vanno bene.
Risolvendo la prima parte del problema di cauchy, avrò:
$y(0)=c_1cos(0)+c_2sin(0)=c_1=1
$y'=ac_2cos(ax)=ac_2=0 ->c_2=0$ oppure $a=0$ (quest'ultimo caso viene escluso per "ipotesi", quindi sarà $c_2=0$
pertanto l'integrale generale del problema di cauchy è la funzione :$y=cos(ax)
allora ho calcolato la derivata prima e posta uguale a 0:
$y'=-asin(ax)=0 -> sin(ax)=0, (-a=0)$, con quest'ultimo caso escluso
quindi diremo che $sin(ax)=0 ->x_1=0+2kpi, x_2=2pi+2kpi, kinZ
pertanto x=0 è un punto di minimo per la funzione, giusto?
Ci sono degli errori, vediamo quali.
Innanzitutto nel risolvere l'equazione ausiliaria hai $lambda^2=-1/a$;
ora devi distinguere $a$ positivo o negativo.
Se $a<0$ hai $lambda=+-sqrt(|1/a|)$; che ti fornisce la soluzione generale $y(x)=C_1\ e^(xsqrt(|1/a|))\ +\ C_2\ e^(-xsqrt(|1/a|))$; se vuoi che siano limitate devi porre $C_1=C_2=0$;
Se $a>0$ hai $lambda=+-isqrt(1/a)$ che ti da $y(x)=C_1\ cos(xsqrt(1/a))\ +\ C_2\ sin(xsqrt(1/a))$; queste sono limitate ($|y(x)|<=C_1+C_2$).
Così concludi il primo problema.
Per il secondo distingui sempre i casi (infatti l'esercizio ti chiede per $a!=0$):
se $a>0$ dalle condizioni ottieni $C_1=1$ e $C_2=0$, fai come dici te la derivata che in $0$ viene ovviamente $0$, ma poi devi fare la derivata seconda che ti viene negativa quindi $x=0$ è un punto di massimo.
D'altronde la funzione è $y(x)=cos(xsqrt(1/a))$ che essendo un coseno è sempre $<=1$ ed in $0$ vale propio $1$.
Quindi non esiste.
Per $a<0$ le condizioni ti portano a $C_1=C_2=1/2$ e la funzione è $y(x)=1/2{e^(xsqrt(|1/a|))\ +\ e^(-xsqrt(|1/a|))}$
ora $y^('')(0)=|1/a|>0$ quindi $y(0)=1$ è punto di minimo.
Innanzitutto nel risolvere l'equazione ausiliaria hai $lambda^2=-1/a$;
ora devi distinguere $a$ positivo o negativo.
Se $a<0$ hai $lambda=+-sqrt(|1/a|)$; che ti fornisce la soluzione generale $y(x)=C_1\ e^(xsqrt(|1/a|))\ +\ C_2\ e^(-xsqrt(|1/a|))$; se vuoi che siano limitate devi porre $C_1=C_2=0$;
Se $a>0$ hai $lambda=+-isqrt(1/a)$ che ti da $y(x)=C_1\ cos(xsqrt(1/a))\ +\ C_2\ sin(xsqrt(1/a))$; queste sono limitate ($|y(x)|<=C_1+C_2$).
Così concludi il primo problema.
Per il secondo distingui sempre i casi (infatti l'esercizio ti chiede per $a!=0$):
se $a>0$ dalle condizioni ottieni $C_1=1$ e $C_2=0$, fai come dici te la derivata che in $0$ viene ovviamente $0$, ma poi devi fare la derivata seconda che ti viene negativa quindi $x=0$ è un punto di massimo.
D'altronde la funzione è $y(x)=cos(xsqrt(1/a))$ che essendo un coseno è sempre $<=1$ ed in $0$ vale propio $1$.
Quindi non esiste.
Per $a<0$ le condizioni ti portano a $C_1=C_2=1/2$ e la funzione è $y(x)=1/2{e^(xsqrt(|1/a|))\ +\ e^(-xsqrt(|1/a|))}$
ora $y^('')(0)=|1/a|>0$ quindi $y(0)=1$ è punto di minimo.
ok, grazie mille
sarà stupido, ma perchè nel caso "a<0" metti il modulo nella radice quadrata?
infondo sono 2 quantità positive, no?
sarà stupido, ma perchè nel caso "a<0" metti il modulo nella radice quadrata?
infondo sono 2 quantità positive, no?
"guybrush1989":
ok, grazie mille
Figurati.
Due cose ti voglio dire:
riguardati i conti perchè magari ho perso qualche segno o qualcos'altro;
secondo me l'errore più grande che hai fatto è il fermarti alla derivata prima sul coseno, gli altri sono solo errori di distrazione.
Per quanto riguarda $a<0$ allora $-a=|a|$; potevi tranquillamente scrivere radice di $-1/a$ ma io preferisco vederlo (visivamente) in quell'altro modo.
"DajeForte":
[quote="guybrush1989"]ok, grazie mille
Figurati.
Due cose ti voglio dire:
riguardati i conti perchè magari ho perso qualche segno o qualcos'altro;
secondo me l'errore più grande che hai fatto è il fermarti alla derivata prima sul coseno, gli altri sono solo errori di distrazione.
Per quanto riguarda $a<0$ allora $-a=|a|$; potevi tranquillamente scrivere radice di $-1/a$ ma io preferisco vederlo (visivamente) in quell'altro modo.[/quote]
ok, tutto chiaro
oggi pomeriggio lo faccio e verifico se mi trovo con i tuoi calcoli
"DajeForte":
Se $a<0$ hai $lambda=+-sqrt(|1/a|)$; che ti fornisce la soluzione generale $y(x)=C_1\ e^(xsqrt(|1/a|))\ +\ C_2\ e^(-xsqrt(|1/a|))$; se vuoi che siano limitate devi porre $C_1=C_2=0$;
Se $a>0$ hai $lambda=+-isqrt(1/a)$ che ti da $y(x)=C_1\ cos(xsqrt(1/a))\ +\ C_2\ sin(xsqrt(1/a))$; queste sono limitate ($|y(x)|<=C_1+C_2$).
non ho capito cosa si applica per dire che sono limitate....poi per il resto ho capito tutto il ragionamento
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