Eq differenziale con soluzione particolare
Salve ho questo tipo di esercizio (PDC) che non riesco a risolvere spero che qualcuno di voi possa darmi una mano.
$y''+2y'+5y=4(e^-x)(cos(2x))$
$y(0)=1$; $y'(0)=1$
Comincio a svolgere trovando l'equazione caratteristica $p(k)=k^2+2k+5=0$ poi ricavo il delta $d=4-20=-16$ quindi ho i coefficenti $a=-1$ e $b=(sqrt(-d)/2)$quindi ho $a=-1$ e $b=2$.
L'equazione associata è quindi $y(x)=c1(exp^(-x)(cos(2x)))+c2(e^(-x)(sin(2x)))$
Adesso cerco la soluzione particolare $y(x)p=4(e^(-x)(cos(2x))$. Successivamente trovo il $k=(-1+-2i)$, poi sostituisco questo valore P(k) e la soluzione dice che k è soluzione dell'equazione e quindi cerca una soluzione del tipo $y(x)p=xe^(-x)(Acos(2x)+Bsin(2x))$. Adesso il mio problema è che quando sostituisco il k nell'equazione caratteristica trovo che k non è soluzione dell'equazione e quindi scelgo il tipo di soluzione $y(x)p=e^(-x)(Acos(2x)+Bsin(2x))$.
Vorrei capire perchè nella soluzione dice che P(K)=0 (e quindi è soluzione dell'equazione) e a me risulta P(K)diverso da 0( quindi non è soluzione). Gradirei una spiegazione con la sostituzione del "k" nell''equazione passo passo perchè non capisco dove è l'errore.Spero di essere stato chiaro. Vi ringrazio in anticipo .
$y''+2y'+5y=4(e^-x)(cos(2x))$
$y(0)=1$; $y'(0)=1$
Comincio a svolgere trovando l'equazione caratteristica $p(k)=k^2+2k+5=0$ poi ricavo il delta $d=4-20=-16$ quindi ho i coefficenti $a=-1$ e $b=(sqrt(-d)/2)$quindi ho $a=-1$ e $b=2$.
L'equazione associata è quindi $y(x)=c1(exp^(-x)(cos(2x)))+c2(e^(-x)(sin(2x)))$
Adesso cerco la soluzione particolare $y(x)p=4(e^(-x)(cos(2x))$. Successivamente trovo il $k=(-1+-2i)$, poi sostituisco questo valore P(k) e la soluzione dice che k è soluzione dell'equazione e quindi cerca una soluzione del tipo $y(x)p=xe^(-x)(Acos(2x)+Bsin(2x))$. Adesso il mio problema è che quando sostituisco il k nell'equazione caratteristica trovo che k non è soluzione dell'equazione e quindi scelgo il tipo di soluzione $y(x)p=e^(-x)(Acos(2x)+Bsin(2x))$.
Vorrei capire perchè nella soluzione dice che P(K)=0 (e quindi è soluzione dell'equazione) e a me risulta P(K)diverso da 0( quindi non è soluzione). Gradirei una spiegazione con la sostituzione del "k" nell''equazione passo passo perchè non capisco dove è l'errore.Spero di essere stato chiaro. Vi ringrazio in anticipo .
Risposte
non ho capito il tuo problema.
Dalla soluzione particolare noti che la forma $e^-xcos(2x)$ è giù soluzione del polinomio caratteristico. Quindi giustamente cerchi una sol. particolare del tipo $xe^-x(Acos(2x) + Bcos(2x))$. Ma a questo punto qual è il tuo problema ?
cosa significa: "il mio problema è che quando sostituisco il k nell'equazione caratteristica trovo che k non è soluzione dell'equazione" ?
$k$ risolve l' equazione omogenea associata, non la completa. Quindi per verificare che la tua soluzione (completa) sia giusta, devi sostituirla tutta nell' equazione di partenza..
Dalla soluzione particolare noti che la forma $e^-xcos(2x)$ è giù soluzione del polinomio caratteristico. Quindi giustamente cerchi una sol. particolare del tipo $xe^-x(Acos(2x) + Bcos(2x))$. Ma a questo punto qual è il tuo problema ?
cosa significa: "il mio problema è che quando sostituisco il k nell'equazione caratteristica trovo che k non è soluzione dell'equazione" ?
$k$ risolve l' equazione omogenea associata, non la completa. Quindi per verificare che la tua soluzione (completa) sia giusta, devi sostituirla tutta nell' equazione di partenza..
ti ringrazio con la tua precisazione ho capito il mio dubbio! scusa se sono stato poco chiaro.
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