Eq. Differenziale [ ancora ]

[rocco.g1]

Ciao!

cercavo di risolvere questa equazione differenziale del primo ordine:
y' = 1/2[ x/y + y/x ]

Effettuo la sostituzione z = y/x con y' = z + xz', ottenendo:

( con i vari calcoli )

z' = ( 1 - z^2 ) / z poi la faccio come un eq. a variabili separabili ottenendo:

-1/2 log|1 - z^2| = x + c

il problema è che facendo i calcoli da questo punto in poi non mi ritrovo con il risultato del libro... qualcuno mi aiuta a proseguire in modo corretto ? Ho, per caso, sbagliato qualcuno dei precedenti passaggi ?

Grazie!!!

[Piera4]

nel libro che risultato viene?

[Piera4]

A me l'equazione a variabili separabili viene
xz'=(1-z^2)/2z

[rocco.g1]

dovrebbe venir fuori:

y(x) = +- srqt(x^2 + cx);


ma non capisco da dove...

[Piera4]

integrando si ha
-log|1-z^2|=log|x|+k
k=log e^k, quindi log|1-z^2|^(-1) =log|x|e^k
chiamo +-e^k=A (con il +- posso togliere il valore assoluto),
log [1/|1-z^2|] =log (Ax)
uguagliando gli argomenti dei logaritmi si ottiene
dopo un po di passaggi
z^2= 1 - 1/Ax ovvero y^2 / x^2 = 1 - 1/Ax quindi
y^2 =x^2 - x/A
chiamo -1/A = c
y^2 =x^2 + cx da cui
y=+-sqrt(x^2 + cx)

[rocco.g1]

ok, grazie Piera!!!