Eq differenziale
chiedo se secondo voi è giusto come ho svolto la seguente equazione:
$y'-(1/x)y-1=0$
$y(e)=2$
$y=e^(int(1/x)dx)[c+e^(-int(1/x)dx)]$
$y=e^(log|x|)(c+e^(-log|x|))$
$y=ce^(log|x|)+1$
$y(e)=ce+1=2$
$c=1/e$
quindi:
$y(x)=1/ee^(log|x|)+1$
secondo voi è giusto?
$y'-(1/x)y-1=0$
$y(e)=2$
$y=e^(int(1/x)dx)[c+e^(-int(1/x)dx)]$
$y=e^(log|x|)(c+e^(-log|x|))$
$y=ce^(log|x|)+1$
$y(e)=ce+1=2$
$c=1/e$
quindi:
$y(x)=1/ee^(log|x|)+1$
secondo voi è giusto?
Risposte
A me i conti escono un po' diversamente ma tutto potrebbe dipendere dall'ora in cui li ho fatti 
ma come sei arrivato a calcolare la soluzione particolare dell'equazione completa?
ma come sei arrivato a calcolare la soluzione particolare dell'equazione completa?
"jestripa":
chiedo se secondo voi è giusto come ho svolto la seguente equazione:
$y'-(1/x)y-1=0$
$y(e)=2$
$y=e^(int(1/x)dx)[c+e^(-int(1/x)dx)]$
$y=e^(log|x|)(c+e^(-log|x|))$
$y=ce^(log|x|)+1$
$y(e)=ce+1=2$
$c=1/e$
quindi:
$y(x)=1/ee^(log|x|)+1$
secondo voi è giusto?
Ricorda che il Teorema di esistenza di Cauchy si può applicare negli intervalli e che l'insieme di definizione dei coefficienti dell'equazione non è un intervallo.
La soluzione inoltre, ad occhio, mi pare sbagliata (non nella forma, ma proprio nella sostanza).
ciao!
vista l'ora, la quantità di esercizi e di cioccolata che ho mangiato oggi,riprenderò il problema domani!
comunque l'equazione in questione essendo di primo ordine ha una soluzione predefinita che è quella che ho sempre usato per la risoluzione delle eq diff non omogenee.
se avete un metodo alternativo per la risoluzione della stessa,ditemi pure!
o magari,se ne avete voglia e tempo,potreste scrivermi come l'avete risolta.
Io domani comunque ci riprovo.
Grazie e buona notte!
ps.il riferimento al teorema nn l'ho capito!o nn lo ricordo,cmq domani guarderò anche questo.
nn so se ti riferivi alla e , perchè a me è sembrato strano che ci fosse lei nelle condizioni iniziali,visto che ho trovato sempre uno zero.cmq il compito d'esame è scritto (male) a penna dal prof,magari ho confuso io o scrive male lui......
vista l'ora, la quantità di esercizi e di cioccolata che ho mangiato oggi,riprenderò il problema domani!
comunque l'equazione in questione essendo di primo ordine ha una soluzione predefinita che è quella che ho sempre usato per la risoluzione delle eq diff non omogenee.
se avete un metodo alternativo per la risoluzione della stessa,ditemi pure!
o magari,se ne avete voglia e tempo,potreste scrivermi come l'avete risolta.
Io domani comunque ci riprovo.
Grazie e buona notte!
ps.il riferimento al teorema nn l'ho capito!o nn lo ricordo,cmq domani guarderò anche questo.
nn so se ti riferivi alla e , perchè a me è sembrato strano che ci fosse lei nelle condizioni iniziali,visto che ho trovato sempre uno zero.cmq il compito d'esame è scritto (male) a penna dal prof,magari ho confuso io o scrive male lui......
allora,io continuo a sostenere,ed anche gli esercizi che ci sono su questo sito me lo confermano,che per un equazione lineare non omogenea del 1 ordine del tipo:
$y'+p(x)y=q(x)$
la soluzione è:
$y=e^(intp(x)dx)[int q(x)e^(-intp(x)dx)dx+c]$
sbaglio?
$y'+p(x)y=q(x)$
la soluzione è:
$y=e^(intp(x)dx)[int q(x)e^(-intp(x)dx)dx+c]$
sbaglio?
quindi mi correggo e scrivo che.
$y(x)=c e^logx-1$
$c e-1=2$
$c=3/e$
allora:
$y(x)=3e^(logx-1)-1$
$y(x)=c e^logx-1$
$c e-1=2$
$c=3/e$
allora:
$y(x)=3e^(logx-1)-1$
provandolo a fare con il metodo della variazione della costante viene un risultato diverso.....
1)omogenea associata:
$y(x)=ce^logx$
2)soluzione particolare
$bary=K(x)e^logx$
$bary'=K'(x)e^logx+K(x)1/x(e^logx)$
sostituendo:
$K'(x)e^logx+K(x)1/x(e^logx)-1/xK(x)e^logx=1$
$K'(x)=1/e^logx$
$K(x)=inte^-logx dx=-e^logx$ è giusto questo passaggio??essendo una funzione composta,sono un pò indecisa....
quindi
$bary(x)=-e^logx e^logx=-e^(2logx)$
la soluzione finale sarà:
$y(x)=ce^logx-e^(log(x^2))$
$y(e)=ce-e^2=2$
£c=(2+e^2)/e$
la soluzione finale particolare:
$y(x)=(2+e^2)/e e^logx- e^log(x^2)$
ditemi stavolta che è giusto....
1)omogenea associata:
$y(x)=ce^logx$
2)soluzione particolare
$bary=K(x)e^logx$
$bary'=K'(x)e^logx+K(x)1/x(e^logx)$
sostituendo:
$K'(x)e^logx+K(x)1/x(e^logx)-1/xK(x)e^logx=1$
$K'(x)=1/e^logx$
$K(x)=inte^-logx dx=-e^logx$ è giusto questo passaggio??essendo una funzione composta,sono un pò indecisa....
quindi
$bary(x)=-e^logx e^logx=-e^(2logx)$
la soluzione finale sarà:
$y(x)=ce^logx-e^(log(x^2))$
$y(e)=ce-e^2=2$
£c=(2+e^2)/e$
la soluzione finale particolare:
$y(x)=(2+e^2)/e e^logx- e^log(x^2)$
ditemi stavolta che è giusto....
Scusa jestripa, avevo letto $y'+(1/x)y\ldots$ in vece che $y'-(1/x)y\ldots$ 
La soluzione dell'omogenea è corretta, nella sostanza, ma può essere migliorata nella forma.
Una domanda: ma perchè ti ostini a non "semplificare" $e^(log x)$?
Ricorda quello che ti ho detto a proposito dell'insieme di definizione della soluzione del problema di Cauchy.
La soluzione dell'omogenea è corretta, nella sostanza, ma può essere migliorata nella forma.Una domanda: ma perchè ti ostini a non "semplificare" $e^(log x)$?
Ricorda quello che ti ho detto a proposito dell'insieme di definizione della soluzione del problema di Cauchy.
perchè che cosa sarebbe cambiato se ci fosse stato il segno+????il metodo di risoluzione è sempre lo stesso,no?
perchè mi vengono 2 risultati diversi con i 2 metodi?
quale devo scegliere?
non so come semplificare,fammi vedere!
perchè mi vengono 2 risultati diversi con i 2 metodi?
quale devo scegliere?
non so come semplificare,fammi vedere!
"jestripa":
perchè che cosa sarebbe cambiato se ci fosse stato il segno+????
Col $+$ l'integrale generale l'ho indovinato ad occhio: $y=c/x$, $c in RR$.
"jestripa":
non so come semplificare,fammi vedere!
$e^(log x)=x$... il logartimo è la funzione inversa dell'esponenziale -.-
hai ragione!
$y=ce^logx=cx$
che stupida......
per il problema di cauchy nn so a che ti riferisci sii più esplicito!
$y=ce^logx=cx$
che stupida......
per il problema di cauchy nn so a che ti riferisci sii più esplicito!
perchè la formula risolutiva non può essere applicata?
che la mettono a fare?
la soluzione quindi sarebbe:
$y(x)=(2+e^2)/e x- x^2$
che la mettono a fare?
la soluzione quindi sarebbe:
$y(x)=(2+e^2)/e x- x^2$
ci sei????
te vorresti dirmi che la soluzione di cauchy non è applicabile perchè il dominio dell'equazione non è un intervallo o qualcosa del genere....
fammi un esempio:
visto che è con te che ieri ho discusso sull'altra equazione differenziale ($y''+y'=x $)
che aveva comunque il problema di cauchy,dimmi perchè lì questa considerazione non l'hai fatta e qui sì.
con gli esempi capisco sempre meglio.
te vorresti dirmi che la soluzione di cauchy non è applicabile perchè il dominio dell'equazione non è un intervallo o qualcosa del genere....
fammi un esempio:
visto che è con te che ieri ho discusso sull'altra equazione differenziale ($y''+y'=x $)
che aveva comunque il problema di cauchy,dimmi perchè lì questa considerazione non l'hai fatta e qui sì.
con gli esempi capisco sempre meglio.
Non ho detto che la formula risolutiva non puoi applicarla, ma ti ho detto di fare attenzione a dove la applichi.
Il teorema di esistenza per le soluzioni del problema di Cauchy vale se i coefficienti sono definiti in un intervallo; visto che i coefficienti della tua equazione sono definiti in $RR-{0}=]-oo,0[cup ]0,+oo[$, che un intervallo non è, devi specificare in quale dei due intervalli $]-oo,0[$, $]0,+oo[$ vuoi applicare la formula.
Visto che il punto iniziale $e$ sta nella semiretta $]0,+oo[$, sei tenuta a specificare che stai applicando la formula risolutiva in $]0,+oo[$.
Insomma, per dirla in maniera più matematica, il Teorema di esistenza di Cauchy ti assicura l'esistenza di una soluzione massimale del problema di Cauchy definita nel più grande intervallo cui appartiene il punto iniziale che sia contenuto nell'insieme di definizione dei coefficienti.
Il teorema di esistenza per le soluzioni del problema di Cauchy vale se i coefficienti sono definiti in un intervallo; visto che i coefficienti della tua equazione sono definiti in $RR-{0}=]-oo,0[cup ]0,+oo[$, che un intervallo non è, devi specificare in quale dei due intervalli $]-oo,0[$, $]0,+oo[$ vuoi applicare la formula.
Visto che il punto iniziale $e$ sta nella semiretta $]0,+oo[$, sei tenuta a specificare che stai applicando la formula risolutiva in $]0,+oo[$.
Insomma, per dirla in maniera più matematica, il Teorema di esistenza di Cauchy ti assicura l'esistenza di una soluzione massimale del problema di Cauchy definita nel più grande intervallo cui appartiene il punto iniziale che sia contenuto nell'insieme di definizione dei coefficienti.
ok per il teorema! ho capito!
mentre per la formula risolutiva non mi hai detto dove applicarla,o meglio(che mi interessa di più) dove NON APPLICARLA!
mentre per la formula risolutiva non mi hai detto dove applicarla,o meglio(che mi interessa di più) dove NON APPLICARLA!
"jestripa":
per la formula risolutiva non mi hai detto dove applicarla,o meglio(che mi interessa di più) dove NON APPLICARLA!
Se leggessi con attenzione questa domanda nemmno l'avresti posta...
"Gugo82":
[...] i coefficienti della tua equazione sono definiti in $RR-{0}=]-oo,0[cup ]0,+oo[$ [...]
Visto che il punto iniziale $e$ sta nella semiretta $]0,+oo[$, sei tenuta a specificare che stai applicando la formula risolutiva in $]0,+oo[$.
Secondo te?
Ragionaci un po', gli indizi che ti ho dato dovrebbero bastare!
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