Eq differenziale
y'-[(3x^2 - 1)/(x^3-x)]y=2x^2 * sqrt(x^2 -1) y(-2)=0.
il risultato non ce l'ho
il risultato non ce l'ho
Risposte
mi blocco all'integrale
facendo facendo mi sono ritrovato anche questo particolare:
y''+y*t^2=cos x y(0)=1/(t^2 -1) y'(0)=t
mi potete dare una mano?
y''+y*t^2=cos x y(0)=1/(t^2 -1) y'(0)=t
mi potete dare una mano?
Per una equazione differenziale del 1° ordine del tipo
y'+P(x)y=Q(x) ,come e' la tua ,vi sono vari metodi.
Adopero quella della variazione della costante.
L'equazione omogenea associata e':
y'-(3x^2-1)/(x^3-x)y=0 da cui:
y'/y=1/x+1/(x-1)+1/(x+1) ed integrando rispetto ad x:
logy-logC=log[x(x-1)(x+1)] ovvero:
(1) y=C*(x^3-x).
Consideriamo ora la C funzione di x cioe'C(x) e deriviamo la (1)
rispetto ad x:
(2) y'=C'(x)*(x^3-x)+C(x)*(3x^2-1) e sostituendo la (1) e la (2)
nell'equazione di partenza, abbiamo:
C'(x)*(x^3-x)+C(x)*(3x^2-1)-(3x^2-1)/(x^3-x)*C(x)(x^3-x)=2x^2*sqrt(x^2-1)
Ovvero:
C'(x)*(x^3-x)=2x^2*sqrt(x^2-1) da cui ancora:
C'(x)=2x^2*sqrt(x^2-1)/(x^3-x)=2x/sqrt(x^2-1)
Ed integrando:
C(x)=2sqrt(x^2-1)+K [K=costante] e sostituendo tale valore di C in (1):
y=[2sqrt(x^2-1)+K]*(x^3-x)
Ponendo x=-2,si ha: 0=[2sqrt(3)+k]*(-6)--->K=-2sqrt(3) e pertanto:
y=2[sqrt(x^2-1)-sqrt(3)]*(x^3-x]
Ciao.
y'+P(x)y=Q(x) ,come e' la tua ,vi sono vari metodi.
Adopero quella della variazione della costante.
L'equazione omogenea associata e':
y'-(3x^2-1)/(x^3-x)y=0 da cui:
y'/y=1/x+1/(x-1)+1/(x+1) ed integrando rispetto ad x:
logy-logC=log[x(x-1)(x+1)] ovvero:
(1) y=C*(x^3-x).
Consideriamo ora la C funzione di x cioe'C(x) e deriviamo la (1)
rispetto ad x:
(2) y'=C'(x)*(x^3-x)+C(x)*(3x^2-1) e sostituendo la (1) e la (2)
nell'equazione di partenza, abbiamo:
C'(x)*(x^3-x)+C(x)*(3x^2-1)-(3x^2-1)/(x^3-x)*C(x)(x^3-x)=2x^2*sqrt(x^2-1)
Ovvero:
C'(x)*(x^3-x)=2x^2*sqrt(x^2-1) da cui ancora:
C'(x)=2x^2*sqrt(x^2-1)/(x^3-x)=2x/sqrt(x^2-1)
Ed integrando:
C(x)=2sqrt(x^2-1)+K [K=costante] e sostituendo tale valore di C in (1):
y=[2sqrt(x^2-1)+K]*(x^3-x)
Ponendo x=-2,si ha: 0=[2sqrt(3)+k]*(-6)--->K=-2sqrt(3) e pertanto:
y=2[sqrt(x^2-1)-sqrt(3)]*(x^3-x]
Ciao.
2° esercizio.
Un integrale particolare Y sara' del tipo :
Y=a*sinx+b*cosx da cui Y'=a*cosx-b*sinx,Y''=-a*sinx-b*cosx
e sostituendo:
-a*sinx-b*cosx+at^2*sinx+bt^2*cosx=cosx.
Deve aversi pertanto:
[at^2-a=0,bt^2-b=1] da cui a=0 e b=1/(t^2-1).
Ne segue che l'integrale particolare e':Y=cosx/(t^2-1).
Per avere l'integrale generale risolviamo
l'equazione omogenea associata: (1) y''+t^2*y=0.
L'equazione caratteristica e' :L^2+t^2=0 e quindi l'integrale
della (1) e' y=C1*sin(tx)+C2*cos(tx) e dunque l'integrale
generale dell'equazione iniziale e':
y=C1*sin(tx)+C2*cos(tx)+Y=C1*sin(tx)+C2*cos(tx)+cosx/(t^2-1).
Imponendo le condizioni iniziali risulta il sistema:
[C2+1/(t^2-1)=1/(t^2-1), C1*t=t] da cui si ottiene C2=0 e C1=1.
Concludendo risulta:
y=sin(tx)+cosx/(t^2-1)
Ciao.
Un integrale particolare Y sara' del tipo :
Y=a*sinx+b*cosx da cui Y'=a*cosx-b*sinx,Y''=-a*sinx-b*cosx
e sostituendo:
-a*sinx-b*cosx+at^2*sinx+bt^2*cosx=cosx.
Deve aversi pertanto:
[at^2-a=0,bt^2-b=1] da cui a=0 e b=1/(t^2-1).
Ne segue che l'integrale particolare e':Y=cosx/(t^2-1).
Per avere l'integrale generale risolviamo
l'equazione omogenea associata: (1) y''+t^2*y=0.
L'equazione caratteristica e' :L^2+t^2=0 e quindi l'integrale
della (1) e' y=C1*sin(tx)+C2*cos(tx) e dunque l'integrale
generale dell'equazione iniziale e':
y=C1*sin(tx)+C2*cos(tx)+Y=C1*sin(tx)+C2*cos(tx)+cosx/(t^2-1).
Imponendo le condizioni iniziali risulta il sistema:
[C2+1/(t^2-1)=1/(t^2-1), C1*t=t] da cui si ottiene C2=0 e C1=1.
Concludendo risulta:
y=sin(tx)+cosx/(t^2-1)
Ciao.
ciao e grazie 1000,la prima mi veniva come te, ma mi ero fermato all'integrale...
per la seconda, non mi trovo da qua: L'equazione caratteristica e' :L^2+t^2=0 e quindi l'integrale
della (1) e' y=C1*sin(tx)+C2*cos(tx) e dunque l'integrale
generale dell'equazione iniziale e':
y=C1*sin(tx)+C2*cos(tx)+Y=C1*sin(tx)+C2*cos(tx)+cosx/(t^2-1).
Imponendo le condizioni iniziali risulta il sistema:
[C2+1/(t^2-1)=1/(t^2-1), C1*t=t] da cui si ottiene C2=0 e C1=1.
Concludendo risulta:
y=sin(tx)+cosx/(t^2-1)
da dove esce L?
per la seconda, non mi trovo da qua: L'equazione caratteristica e' :L^2+t^2=0 e quindi l'integrale
della (1) e' y=C1*sin(tx)+C2*cos(tx) e dunque l'integrale
generale dell'equazione iniziale e':
y=C1*sin(tx)+C2*cos(tx)+Y=C1*sin(tx)+C2*cos(tx)+cosx/(t^2-1).
Imponendo le condizioni iniziali risulta il sistema:
[C2+1/(t^2-1)=1/(t^2-1), C1*t=t] da cui si ottiene C2=0 e C1=1.
Concludendo risulta:
y=sin(tx)+cosx/(t^2-1)
da dove esce L?
Quella L (che normalmente e' indicata con lambda) viene
dalla teoria delle equazioni lineari a coeff. costanti.
Nel tuo caso cerchiamo una soluzione del tipo y=e^(Lx)
da cui y'=L*e^(Lx),y''=L^2*e^(Lx) e sostituendo nell'equazione
omogenea associata:
L^2*e^(Lx)+t^2*e^(Lx)=0 da cui appunto L^2+t^2=0 e dunque
L1=-it,L2=+it .La soluzione dell'equazione associata e' pertanto
y=K1*e^(-itx)+K2*e^(+itx).
Ricordando le note formule di Eulero ed alcune altre cose
e' possibile mettere la soluzione nella forma C1*sin(tx)+C2*cos(tx).
Insomma e' tutta teoria!
Ciao.
dalla teoria delle equazioni lineari a coeff. costanti.
Nel tuo caso cerchiamo una soluzione del tipo y=e^(Lx)
da cui y'=L*e^(Lx),y''=L^2*e^(Lx) e sostituendo nell'equazione
omogenea associata:
L^2*e^(Lx)+t^2*e^(Lx)=0 da cui appunto L^2+t^2=0 e dunque
L1=-it,L2=+it .La soluzione dell'equazione associata e' pertanto
y=K1*e^(-itx)+K2*e^(+itx).
Ricordando le note formule di Eulero ed alcune altre cose
e' possibile mettere la soluzione nella forma C1*sin(tx)+C2*cos(tx).
Insomma e' tutta teoria!
Ciao.
e allora di B cosa ce ne facciamo?
poi ti dovrei fare una piccola domandina che esula dall'esercizio, spero di rivolgertela, immediatamente dopo...
poi ti dovrei fare una piccola domandina che esula dall'esercizio, spero di rivolgertela, immediatamente dopo...
e quindi facciamo 2 volte uno stesso passaggio?e poi da dove esce e^x?
io avevo ragionato così una volta ottenuto B, l'andavo ad aggiungere qui -a*sinx-b*cosx+at^2*sinx+bt^2*cosx=cosx.e finiva tutto
I due procedimenti sono : uno per avere l'integrale particolare
(quello con a e b) e l'altro per avere l'integrale della
equazione omogenea associata (quello con C1 e C2).Sommando poi i due risultati cosi' ottenuti si ha l'integrale generale dell'equazione
che hai proposto.Ed e' quello che ho fatto;tra l'altro
puoi verificare la giustezza dei risultati sostituendo
la soluzione nell'equazioni ( come del resto ho verificato io).
Quanto all'e^x ,come ti ho gia' detto,sono cose che vengono
leggendo la teoria nella quale sono appunto indicati
questi ..trucchi.
Ciao.
(quello con a e b) e l'altro per avere l'integrale della
equazione omogenea associata (quello con C1 e C2).Sommando poi i due risultati cosi' ottenuti si ha l'integrale generale dell'equazione
che hai proposto.Ed e' quello che ho fatto;tra l'altro
puoi verificare la giustezza dei risultati sostituendo
la soluzione nell'equazioni ( come del resto ho verificato io).
Quanto all'e^x ,come ti ho gia' detto,sono cose che vengono
leggendo la teoria nella quale sono appunto indicati
questi ..trucchi.
Ciao.
Ok ora ricontrollo. Ti volevo chiedere se ho un eq. differenziale di 2°grado=polinomio*e^(ax)
con polinomio di secondo grado.
se a non appartiene alle soluzioni dell'equazione differenziale omogenea, la soluzione particolare è
y=(bx^2+cx+d)e^(ax)?
se iovece a appartiene si ha y=x(bx^2+cx+d)e^(ax) giusto?
con polinomio di secondo grado.
se a non appartiene alle soluzioni dell'equazione differenziale omogenea, la soluzione particolare è
y=(bx^2+cx+d)e^(ax)?
se iovece a appartiene si ha y=x(bx^2+cx+d)e^(ax) giusto?
La prima parte e' giusta (a non e' radice ).Per la seconda parte
(a e' radice) bisogna distinguere se a e' radice semplice
ed in questo caso va bene come hai scritto;se invece a e' radice doppia allora il polinomio va moltiplicato per x^2 anziche' per x.
Ciao.
(a e' radice) bisogna distinguere se a e' radice semplice
ed in questo caso va bene come hai scritto;se invece a e' radice doppia allora il polinomio va moltiplicato per x^2 anziche' per x.
Ciao.
si ok, allora va tutto bene.ciao e grazie 100000 alla prossima...(non è una minaccia)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo