Eq differenziale
Ciao a tutti.
Devo determinare un'espressione analitica esplicita della soluzione $y(x)$ e fare il limite agli estremi del dominio della funzione $\frac{y(x)}{e^{x^2}}$ del seguente PdC
Dal teorema di esistenza e unicità ricavo che esiste un'unica soluzione su tutto $\mathbb{R}$ e per ricavare l'espressione divido in due casi (?giusto?)
Se $x\leq 0$
\( y(x)=e^{\int_{0}^{x}-tdt}\cdot\displaystyle\int_{0}^{x}2e^{-\int_{0}^{t}-sds}dt=e^{\frac{-x^2}{2}}\int_{0}^{x}2e^{\frac{t^2}{2}}dt \)
Se $x\geq 0$
\( y(x)=e^{\int_{0}^{x}tdt}\cdot\displaystyle\int_{0}^{x}2e^{-\int_{0}^{t}sds}dt=e^{\frac{x^2}{2}}\int_{0}^{x}2e^{\frac{-t^2}{2}}dt \)
Vi sembra corretto?
Essendo la soluzione espressa per mezzo di un integrale che non si risolvere elementarmente, come si può studiare il limite a $+\infty$? So solo che l'integrale converge ma non potendolo integrare non so a cosa converge....Come si può fare?
Vi ringrazio!
Devo determinare un'espressione analitica esplicita della soluzione $y(x)$ e fare il limite agli estremi del dominio della funzione $\frac{y(x)}{e^{x^2}}$ del seguente PdC
${ ( y'(x)=|x|y(x)+2 ),( y(0)=0 ):}$
Dal teorema di esistenza e unicità ricavo che esiste un'unica soluzione su tutto $\mathbb{R}$ e per ricavare l'espressione divido in due casi (?giusto?)
Se $x\leq 0$
\( y(x)=e^{\int_{0}^{x}-tdt}\cdot\displaystyle\int_{0}^{x}2e^{-\int_{0}^{t}-sds}dt=e^{\frac{-x^2}{2}}\int_{0}^{x}2e^{\frac{t^2}{2}}dt \)
Se $x\geq 0$
\( y(x)=e^{\int_{0}^{x}tdt}\cdot\displaystyle\int_{0}^{x}2e^{-\int_{0}^{t}sds}dt=e^{\frac{x^2}{2}}\int_{0}^{x}2e^{\frac{-t^2}{2}}dt \)
Vi sembra corretto?
Essendo la soluzione espressa per mezzo di un integrale che non si risolvere elementarmente, come si può studiare il limite a $+\infty$? So solo che l'integrale converge ma non potendolo integrare non so a cosa converge....Come si può fare?
Vi ringrazio!
Risposte
"pilloeffe":
Ciao mauri54,
L'integrale in questione è già stato trattato anche di recente, ad esempio qui.
Ok ci darò un'occhiata. Lo svolgimento della soluzione ti sembra corretto?
Il mio dubbio nasce dal fatto che questo esercizio è stato fornito in un compito di Analisi 1 ad ingegneria e non sono molto sicuro che siano stati fatti questi integrali. Mi chiedevo se c'era un ragionamento che non tirasse in ballo formulacce o comunque nozioni non tradizionalmente svolte ad ingegneria.
Si, si può fare tranquillamente anche senza sapere a quanto converge l'integrale, basta sapere che converge ad un valore >0, e questo è banale, a questo punto si applicno i classici teoremi algebrici sui limiti.
Mi correggo, questo va bene solo per $+infty$, a $-infty$ la cosa si complica, c'è da usare de l'Hopital nel modo opportuno.
Mi correggo, questo va bene solo per $+infty$, a $-infty$ la cosa si complica, c'è da usare de l'Hopital nel modo opportuno.
"otta96":
Si, si può fare tranquillamente anche senza sapere a quanto converge l'integrale, basta sapere che converge ad un valore >0, e questo è banale, a questo punto si applicno i classici teoremi algebrici sui limiti.
Mi correggo, questo va bene solo per $+infty$, a $-infty$ la cosa si complica, c'è da usare de l'Hopital nel modo opportuno.
Ciao Otta96. Ti ringrazio per la risposta. Sì certamente converge per il criterio dell'ordine visto che l'integrale avanti all'infinito di ordine esponenziale. Ma purtroppo devo trovare proprio un valore. A $-\infty$ è facile perché usando de l'hopital il limite va a 0 dopo opportune semplificazioni.
È invece quello a $+\infty$ che non riesco a valutare. Forse il prof si accontentava di sapere se convergeva o meno. Boh
L'importante che la soluzione del PDC sia corretta
Ma a $+infty$ il fattore con l'integrale diventa l'integrale improprio, che converge, non si sa a quanto, ma converge ad un valora positivo, ma c'è anche un $e^(x^2/2)$ a moltiplicare che non va dimenticato!
"otta96":
Ma a $+infty$ il fattore con l'integrale diventa l'integrale improprio, che converge, non si sa a quanto, ma converge ad un valora positivo, ma c'è anche un $e^(x^2/2)$ a moltiplicare che non va dimenticato!
ok forse ci sono
\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{y(x)}{e^{x^2}}= \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^{x^2/2}\int_{0}^{x}e^{-t^2/2}dt}{e^{x^2}} =\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\int_{0}^{x}2e^{-t^2/2}dt}{e^{x^2/2}}=0 \)
siccome l'integrale converge positivamente ad un $l\in\mathbb{R}_{>0}$ per il criterio dell'ordine degli integrali impropri.
\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{y(x)}{e^{x^2}}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{e^{-x^2/2}\int_{0}^{x}2e^{t^2/2}dt}{e^{x^2}}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\int_{0}^{x}2e^{t^2/2}dt}{e^{3x^2/2}}=
\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{2e^{x^2/2}}{3xe^{3x^2/2}}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2}{3xe^{x^2}}=0 \)
usando Hopital nella terza uguaglianza.
Così vi sembra corretto?
Perché l'hai messo sotto quel $e^(x^2/2)$?
"otta96":
Perché l'hai messo sotto quel $e^(x^2/2)$?
Se intendi il primo limite ho solo semplificato con il denominatore
Ah oddio, non mi ero accorto che il limite era di $(y(x))/e^(x^2)$, pensavo solo di $y(x)$, sorry.
In tal caso, hai fatto tutto bene, e scusami ancora per aver malinteso il testo.
In tal caso, hai fatto tutto bene, e scusami ancora per aver malinteso il testo.
Ti ringrazio molto!:)
Buona serata
Buona serata
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