Eq diff: teorema di struttura
Buona sera a tutti gli utenti del forum.
Il mio professore di analisi 2 vorrebbe la dimostrazione di questo teorema: "teorema di struttura delle soluzioni di un'equazione di fferenziale lineare". Che teorema sarebbe? Avete materiale da consigliarmi? Purtroppo, sul mio libro di analisi, questo teorema non c'è.
Se qualcuno ce l'avesse su qualche libro, sarebbe così gentile da scannerizzarmi la pagina e mandarmela per mail?
Ringraziandovi anticipatamente,
vi auguro una buona serata!
Il mio professore di analisi 2 vorrebbe la dimostrazione di questo teorema: "teorema di struttura delle soluzioni di un'equazione di fferenziale lineare". Che teorema sarebbe? Avete materiale da consigliarmi? Purtroppo, sul mio libro di analisi, questo teorema non c'è.
Se qualcuno ce l'avesse su qualche libro, sarebbe così gentile da scannerizzarmi la pagina e mandarmela per mail?Ringraziandovi anticipatamente,
vi auguro una buona serata!
Risposte
Quello è il classico teorema:
La dimostrazione è semplicissima e puoi farla anche da solo.
In particolare, prendi una qualsiasi soluzione \(y(x)\) della EDO completa e considera la funzione \(w(x)=y(x)-\bar{y}(x)\) (ove \(\bar{y}\) è un'altra fissata soluzione della EDO completa, che vuoi usare per scriverne l'integrale generale) e chiediti la funzione \(w\) quale equazione differenziale soddisfa...
Sia \(a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} +\cdots +a_1(x) y^\prime + a_0(x) y =b(x)\) una EDO lineare d'ordine \(n\) completa.
L'integrale generale della EDO si ottiene sommando una soluzione particolare della EDO con l'integrale generale dell'equazione omogenea associata, cioè \(a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} +\cdots +a_1(x) y^\prime + a_0(x) y =0\).
In particolare, visto che l'integrale generale della EDO omogenea associata è combinazione lineare di \(n\) soluzioni indipendenti \(y_1,\ldots, y_n\), l'integrale generale della EDO completa si scrive:
\[
y(x;C_1,\ldots ,C_n) = \bar{y}(x) + C_1\ y_1(x) +\cdots + C_n\ y_n(x)
\]
ove \(\bar{y}\) è una soluzione particolare della EDO completa.
La dimostrazione è semplicissima e puoi farla anche da solo.
In particolare, prendi una qualsiasi soluzione \(y(x)\) della EDO completa e considera la funzione \(w(x)=y(x)-\bar{y}(x)\) (ove \(\bar{y}\) è un'altra fissata soluzione della EDO completa, che vuoi usare per scriverne l'integrale generale) e chiediti la funzione \(w\) quale equazione differenziale soddisfa...
Perfetto,
ti ringrazio per la velocità e la precisione.
Buona notte!
ti ringrazio per la velocità e la precisione.
Buona notte!
Saresti così gentile da postarmi anche la dimostrazione?In modo da essere sicuro di non fare errori nel compito. Grazie
Prova a farla tu... Ti ho indicato la strada: prova a seguirla. 
Ciao,
mi diresti il nome esatto del teorema per favore?
Grazie!
mi diresti il nome esatto del teorema per favore?
Grazie!
Un nome esatto non esiste.
Hai provato ad arrangiare una dimostrazione da te?
Hai provato ad arrangiare una dimostrazione da te?
Ad essere onesto, no.. Ho mille cose da fare e sono troppo incasinato.. Sinceramente non saprei nemmeno da che parte iniziare! Potresti darmi qualche informazione in più per favore? Ciao e grazie!
Potresti darmi qualche informazione in più per favore? Ciao e grazie!
Lo spunto già l'avevo dato:
"gugo82":
In particolare, prendi una qualsiasi soluzione \(y(x)\) della EDO completa e considera la funzione \(w(x)=y(x)-\bar{y}(x)\) (ove \(\bar{y}\) è un'altra fissata soluzione della EDO completa, che vuoi usare per scriverne l'integrale generale) e chiediti la funzione \(w\) quale equazione differenziale soddisfa...
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