Eq. diff. non omogenea: qualcosa che non quadra
Salve a tutti. Sono alle prese con la seguente eq.diff.
$ y''+4y=sin(2x) $
La soluzione dell'omogenea associata è banale, mentre per una soluzione particolare della eq. diff. stessa mi trovo un attimo in difficioltà. Mi spiego: applicando il metodo "della somiglianza" (così chiamato negli appunti di un docente) arrivo al risultato
$ -(xcos(2x))/4 $
(in pratica parto da una funzione $ y=xAcos(2x)+xBsin(2x) $ , la derivo due volte e la inserisco nella eq.diff. di partenza,ottenendo appunto A=-1/4 e B=0)
Questo risultato è proprio quello riportato come soluzione.
Applicando però il metodo della variazione delle costanti arrivo ad una soluzione (uguale a quella che ottengo con Mathematica):
$ 1/16(-4xcos(2x)+sin(2x)) $
che differisce dalla prima del termine $ 1/16sin(2x) $
Entrambe, derivate e sostituite nella eq.diff. iniziale, portano ad una corretta uguaglianza, ma non capisco questa loro differenza.
Capisco che entrambe sono soluzioni particolari della eq.diff. ma qualcuno sa spiegarmi perchè ciò avviene (tenendo conto che, in tutti gli altri esercizi che ho provato, i due metodi portano sempre al medesimo risultato)?
Grazie
$ y''+4y=sin(2x) $
La soluzione dell'omogenea associata è banale, mentre per una soluzione particolare della eq. diff. stessa mi trovo un attimo in difficioltà. Mi spiego: applicando il metodo "della somiglianza" (così chiamato negli appunti di un docente) arrivo al risultato
$ -(xcos(2x))/4 $
(in pratica parto da una funzione $ y=xAcos(2x)+xBsin(2x) $ , la derivo due volte e la inserisco nella eq.diff. di partenza,ottenendo appunto A=-1/4 e B=0)
Questo risultato è proprio quello riportato come soluzione.
Applicando però il metodo della variazione delle costanti arrivo ad una soluzione (uguale a quella che ottengo con Mathematica):
$ 1/16(-4xcos(2x)+sin(2x)) $
che differisce dalla prima del termine $ 1/16sin(2x) $
Entrambe, derivate e sostituite nella eq.diff. iniziale, portano ad una corretta uguaglianza, ma non capisco questa loro differenza.
Capisco che entrambe sono soluzioni particolari della eq.diff. ma qualcuno sa spiegarmi perchè ciò avviene (tenendo conto che, in tutti gli altri esercizi che ho provato, i due metodi portano sempre al medesimo risultato)?
Grazie
Risposte
"lobacevskij":Questa naturalmente è la cosa importante.
Capisco che entrambe sono soluzioni particolari della eq.diff.
Sul perché succeda che trovi due soluzioni particolari diverse, ed in particolare perché succeda in questo caso, non ti so rispondere.
Sei sicuro di non aver sbagliato qualcosa..ho provato a mano e con Maple e mi viene in entrambi i casi solo $y(x) = sin(2*x)*C_2+cos(2*x)*C_1-(1/4)*cos(2*x)*x$..
beh la soluzione che ti dà il metodo della var delle costanti è quella particolare della somiglianza più una dell'omogenea, quindi non cambia niente...
"enderwiggins":
ho provato a mano
Con il metodo della variazione delle costanti? Se si, non è che potresti indicarmi i passaggi fondamentali?
Ho provato più volte, ma viene solo quello con il termine aggiuntivo...
Con Mathematica ho usato il comando DSolve; Maple lo conosco solo di nome...
Grazie comunque per le risposte
No, con il metodo che chiami di somiglianza. Ammetto la mia colpa ma è l'unico che ricordo e ottengo $-4*A*sin(2*x)+4*B*cos(2*x)=sin(2*x)$, che è quello che ottieni anche tu. E anche su Maple ho usato il comando dsolve anch'io, che immagino sia simile. Se mi rinfreschi sul metodo di variazione delle costanti posso provarci..
@ EnderWiggins: La spiegazione di wikipedia mi sembra abbastanza concisa e chiara;
Metodo_delle_variazioni_delle_costanti
Metodo_delle_variazioni_delle_costanti
Effettivamente, con il metodo delle variazioni delle costanti la soluzione particolare presenta quel termine in più. Mi è capitato altre volte, in alcuni esercizi, di ritrovarmi in situazioni simili. L'unica spiegazione che mi sono dato, è che il colpevole di tale fatto è proprio il metodo stesso: volendo partire da una funzione che, formalmente, assomiglia alla soluzione dell'omogenea (e di cui fai variare le costanti, appunto), non escludi a priori la possibilità che le soluzioni ottenute, per tali costanti, non possano presentare eventualmente un termine costante al loro interno. Questo ovviamente fa "riapparire" una delle soluzioni indipendenti ricavate dalla risoluzione dell'equazione omogenea, che, tuttavia, puoi "riassorbire" proprio all'interno del termine analogo presente in questa (ricorda che, fino a che non risolvi il problema di Cauchy, le costanti arbitrarie della soluzione della omogenea restano tali).
Spero che si sia capito quello che intendevo, perché scriverlo in formule ora come ora è una cosa che non posso fare.
Spero che si sia capito quello che intendevo, perché scriverlo in formule ora come ora è una cosa che non posso fare.
@lobacevskij: Effettivamente hai ragione, non avevo pensato di chiedere a wiki, grazie!
Comunque sono d'accordo con ciampax, infatti il termine aggiuntivo lo riassorbe il $C_2*sin(2x)$:
$y(x)=sin(2⋅x)⋅C_2+cos(2⋅x)⋅C_1-(1/4)⋅cos(2⋅x)⋅x+(1/16)sin(2x) =sin(2⋅x)⋅(C_2+1/16)+cos(2⋅x)⋅C_1-(1/4)⋅cos(2⋅x)⋅x=sin(2⋅x)⋅C_3+cos(2⋅x)⋅C_1-(1/4)⋅cos(2⋅x)⋅x$..
Ti convince?
Comunque sono d'accordo con ciampax, infatti il termine aggiuntivo lo riassorbe il $C_2*sin(2x)$:
$y(x)=sin(2⋅x)⋅C_2+cos(2⋅x)⋅C_1-(1/4)⋅cos(2⋅x)⋅x+(1/16)sin(2x) =sin(2⋅x)⋅(C_2+1/16)+cos(2⋅x)⋅C_1-(1/4)⋅cos(2⋅x)⋅x=sin(2⋅x)⋅C_3+cos(2⋅x)⋅C_1-(1/4)⋅cos(2⋅x)⋅x$..
Ti convince?
"EnderWiggins":
@lobacevskij: Effettivamente hai ragione, non avevo pensato di chiedere a wiki, grazie!
Comunque sono d'accordo con ciampax, infatti il termine aggiuntivo lo riassorbe il $C_2*sin(2x)$:
$y(x)=sin(2⋅x)⋅C_2+cos(2⋅x)⋅C_1-(1/4)⋅cos(2⋅x)⋅x+(1/16)sin(2x) =sin(2⋅x)⋅(C_2+1/16)+cos(2⋅x)⋅C_1-(1/4)⋅cos(2⋅x)⋅x=sin(2⋅x)⋅C_3+cos(2⋅x)⋅C_1-(1/4)⋅cos(2⋅x)⋅x$..
Ti convince?
Sono pienamente d'accordo.
"ciampax":
[quote="EnderWiggins"]@lobacevskij: Effettivamente hai ragione, non avevo pensato di chiedere a wiki, grazie!
Comunque sono d'accordo con ciampax, infatti il termine aggiuntivo lo riassorbe il $C_2*sin(2x)$:
$y(x)=sin(2⋅x)⋅C_2+cos(2⋅x)⋅C_1-(1/4)⋅cos(2⋅x)⋅x+(1/16)sin(2x) =sin(2⋅x)⋅(C_2+1/16)+$
$cos(2⋅x)⋅C_1-(1/4)⋅cos(2⋅x)⋅x=sin(2⋅x)⋅C_3+cos(2⋅x)⋅C_1-(1/4)⋅cos(2⋅x)⋅x$..
Ti convince?
Sono pienamente d'accordo.[/quote]
[OT] bhubahuahuahuahuaahuhauahuhua
[/ OT]Riscrivo, e mi prendo pure i meriti!!
$y(x)=sin(2\cdotx)\cdotC_2+cos(2\cdotx)\cdotC_1-(1/4)\cdotcos(2\cdotx)\cdotx+(1/16)sin(2x) =sin(2x)\cdot(C_2+1/16)+cos(2x)\cdotC_1-(1/4)\cdotcos(2x)\cdotx=sin(2x)\cdotC_3+cos(2x)\cdotC_1-(1/4)\cdotcos(2x)\cdotx$
Che ne pensate? E' tutta farina del mio sacco!
"pater46":
[quote="ciampax"][quote="EnderWiggins"]@lobacevskij: Effettivamente hai ragione, non avevo pensato di chiedere a wiki, grazie!
Comunque sono d'accordo con ciampax, infatti il termine aggiuntivo lo riassorbe il $C_2*sin(2x)$:
$y(x)=sin(2⋅x)⋅C_2+cos(2⋅x)⋅C_1-(1/4)⋅cos(2⋅x)⋅x+(1/16)sin(2x) =sin(2⋅x)⋅(C_2+1/16)+$
$cos(2⋅x)⋅C_1-(1/4)⋅cos(2⋅x)⋅x=sin(2⋅x)⋅C_3+cos(2⋅x)⋅C_1-(1/4)⋅cos(2⋅x)⋅x$..
Ti convince?
Sono pienamente d'accordo.[/quote]
[OT] bhubahuahuahuahuaahuhauahuhua
[/ OT]Riscrivo, e mi prendo pure i meriti!!
$y(x)=sin(2\cdotx)\cdotC_2+cos(2\cdotx)\cdotC_1-(1/4)\cdotcos(2\cdotx)\cdotx+(1/16)sin(2x) =sin(2x)\cdot(C_2+1/16)+cos(2x)\cdotC_1-(1/4)\cdotcos(2x)\cdotx=sin(2x)\cdotC_3+cos(2x)\cdotC_1-(1/4)\cdotcos(2x)\cdotx$
Che ne pensate? E' tutta farina del mio sacco![/quote]
? Perché l'avevi fatta tu prima?
no, però l'ho scritta io in forma leggibile! Ahahaha
Comunque tornando in topic, per me la spiegazione più plausibile è quella data da te ciampax, anche perchè, ovviamente, dato che il seno è lipschitziano la soluzione del problema è una ed una sola, ergo non vi possono essere due soluzioni diverse.
AhahahaComunque tornando in topic, per me la spiegazione più plausibile è quella data da te ciampax, anche perchè, ovviamente, dato che il seno è lipschitziano la soluzione del problema è una ed una sola, ergo non vi possono essere due soluzioni diverse.
Effettivamente già antani aveva suggerito la stessa cosa, e si, mi ha convinto
Sul discorso del lipschitziano devo ben capire la definizione stessa, però sembra convincente pure l'osservazione di pater46
Sul discorso del lipschitziano devo ben capire la definizione stessa, però sembra convincente pure l'osservazione di pater46
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo