Eq. diff. con modulo
Non ho mai trovato un'equazione differenziale in modulo, quindi non ho proprio idea di come poterne impostare la risoluzione.
L'equazione è la seguente:
$ y'(x)=-y(x)(|x+5y(x)|)/(4x^2) $
Potreste indicarmi da dove iniziare?
L'equazione è la seguente:
$ y'(x)=-y(x)(|x+5y(x)|)/(4x^2) $
Potreste indicarmi da dove iniziare?
Risposte
Hai delle condizioni iniziali? Se sì, dovresti guardare se $x_0+5y_0$ è positivo o negativo e sostituire di conseguenza quel valore assoluto con $x+5y$ o con $-x-5y$: se la soluzione che trovi non attraversa mai la retta $x+5y=0$ hai finito, altrimenti devi raccordarla con una funzione che risolve l'equazione con l'altro segno.
"spugna":
Hai delle condizioni iniziali? Se sì, dovresti guardare se $x_0+5y_0$ è positivo o negativo e sostituire di conseguenza quel valore assoluto con $x+5y$ o con $-x-5y$: se la soluzione che trovi non attraversa mai la retta $x+5y=0$ hai finito, altrimenti devi raccordarla con una funzione che risolve l'equazione con l'altro segno.
Si, ho condizione iniziale $y(1)=1$. In base a quello che hai scritto ho che $1+5\cdot1=6>0$, quindi l'equazione è $ y'(x)=-y(x)(x+5y(x))/(4x^2) $. Risolta con Bernoulli ho che: $ z_0(x)=cx^(1/4) $ e $ z_p(x)=-1/x $ , da cui $z=cx^(1/4)-1/x=y^(-1)->y=x/(cx^(5/4)-1)$. Per la condizione $c=0$, quindi $y=-x$.
Posso accettare la soluzione? Cosa vuol dire che "non attraversa mai la retta"?
Non sarebbe $1=1/(c-1)$ e quindi $c=2$? Comunque volevo dire che devi guardare se il grafico della funzione interseca la retta, perché se la attraversa, da quel punto in poi dovrà essere una funzione che risolve l'altra equazione.
Studiamoci un po' la cosa, prima di fare contazzi.
Il secondo membro della EDO è:
\[
f(x,y) := -y\ \frac{|x+5y|}{4x^2}
\]
definito in $Omega := RR^2 \setminus \{x=0\}$ (tutto il piano privato dell'asse delle ordinate , in rosso in figura); la $f$ è localmente lipschitziana rispetto ad $y$ ergo, per ogni $(x_0,y_0)in Omega$, esiste un'unica soluzione massimale del PdC:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) = -y(x)\ \frac{|x+5y(x)|}{4x^2}\\
y(x_0) = y_0
\end{cases}\; .
\]
La soluzione del PdC è di classe $C^1$ nel suo intervallo di definizione massimale $I$.
Le uniche soluzioni stazionarie della EDO sono i due rami della funzione $y^** (x)=0$ definiti in $]0,+oo[$ ed in $]-oo,0[$; dato che siamo in regime di unicità, il grafico di ogni PdC con $y_0!= 0$ non attreversa nessuno dei due rami del grafico di $y^**$ (in arancio in figura).
Le soluzioni massimali dei PpddCc sono strettamente crescenti [risp. strettamente decrescenti] negli intervalli in cui i loro grafici giacciono nella regione $Omega^+ := Omega \cap \{ y<0\}$ [risp. $Omega_(-) := Omega \cap \{ y>0\}$]; tali soluzioni hanno punti stazionari appartenenti all'insieme $Omega_0 := \{ x+5y=0\} = \{y=-1/5 x\}$ (in blu in figura).
Il punto iniziale del PdC assegnato, i.e. $(x_0,y_0)=(1,1)$ (in verde in figura) è nel primo quadrante, dunque la soluzione massimale $y(x)=y(x;1,1)$ del PdC rimane confinata in tale insieme (non può attraversare né l'asse delle ordinate né quello delle ascisse); inoltre, deve essere $lim_(x -> +oo) y(x)=0$ per monotònia e per noti fatti sul comportamento delle soluzioni massimali al bordo dell'insieme di definizione del secondo membro della EDO.
[asvg]xmin=-5; xmax=5; ymin=-5; ymax=5;
axes("","");
marker="arrow";
line([0.5,3.5],[1.5,2.5]); line([3,2],[4,1]); line([3,5],[4,4]); line([-2,2],[-1,1]); line([-2,5],[-1,4]); line([-4.5,3.5],[-3.5,2.5]);
line([0.5,-3.5],[1.5,-2.5]); line([3,-2],[4,-1]); line([3,-5],[4,-4]); line([-2,-2],[-1,-1]); line([-2,-5],[-1,-4]); line([-4.5,-3.5],[-3.5,-2.5]);
marker="none";
strokewidth=2; stroke="blue"; line([-6,1.2],[6,-1.2]);
stroke="orange"; line([-6,0],[6,0]);
stroke="red"; line([0,-6],[0,6]);
stroke="lime"; dot([1,1]);[/asvg]
Da ciò segue che si ha sempre (nell'intervallo di definizione $I$) $x+5y(x)>0$ e perciò il PdC con i dati iniziali assegnati si può riscrivere senza il valore assoluto:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) = -y(x)\ \frac{x+5y(x)}{4x^2}\\
y(1) = 1
\end{cases}\; ;
\]
Il secondo membro è omogeneo di grado $0$, dunque l'equazione diventa a variabili separabili ponendo $y(x)=x*u(x)$ con $u(x)$ da determinare risolvendo il PdC ausiliario:
\[
\begin{cases}
x\ u^\prime (x) + u(x)= -u(x)\ \frac{5u(x)+1}{4}\\
u(1) = 1
\end{cases}\; .
\]
La soluzione, se ho fatto bene i conti, è:
\[
u(x) = \frac{1}{2x^{5/4}-1}
\]
definita in $I=]2^(-4/5), +oo[$, sicché la soluzione del PdC assegnato è:
\[
y(x) = \frac{x}{2x^{5/4}-1}
\]
definita nel medesimo intervallo (graficon in verde).
[asvg]xmin=0;xmax=5; ymin=-2; ymax=3;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="blue"; line([-0,0],[11,-2.2]);
stroke="orange"; line([0,0],[11,0]);
stroke="red"; line([0,-6],[0,6]);
stroke="lime"; plot("(2x)/(7x^2 - 5)",0.85, 11); dot([1,1]);[/asvg]
Il secondo membro della EDO è:
\[
f(x,y) := -y\ \frac{|x+5y|}{4x^2}
\]
definito in $Omega := RR^2 \setminus \{x=0\}$ (tutto il piano privato dell'asse delle ordinate , in rosso in figura); la $f$ è localmente lipschitziana rispetto ad $y$ ergo, per ogni $(x_0,y_0)in Omega$, esiste un'unica soluzione massimale del PdC:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) = -y(x)\ \frac{|x+5y(x)|}{4x^2}\\
y(x_0) = y_0
\end{cases}\; .
\]
La soluzione del PdC è di classe $C^1$ nel suo intervallo di definizione massimale $I$.
Le uniche soluzioni stazionarie della EDO sono i due rami della funzione $y^** (x)=0$ definiti in $]0,+oo[$ ed in $]-oo,0[$; dato che siamo in regime di unicità, il grafico di ogni PdC con $y_0!= 0$ non attreversa nessuno dei due rami del grafico di $y^**$ (in arancio in figura).
Le soluzioni massimali dei PpddCc sono strettamente crescenti [risp. strettamente decrescenti] negli intervalli in cui i loro grafici giacciono nella regione $Omega^+ := Omega \cap \{ y<0\}$ [risp. $Omega_(-) := Omega \cap \{ y>0\}$]; tali soluzioni hanno punti stazionari appartenenti all'insieme $Omega_0 := \{ x+5y=0\} = \{y=-1/5 x\}$ (in blu in figura).
Il punto iniziale del PdC assegnato, i.e. $(x_0,y_0)=(1,1)$ (in verde in figura) è nel primo quadrante, dunque la soluzione massimale $y(x)=y(x;1,1)$ del PdC rimane confinata in tale insieme (non può attraversare né l'asse delle ordinate né quello delle ascisse); inoltre, deve essere $lim_(x -> +oo) y(x)=0$ per monotònia e per noti fatti sul comportamento delle soluzioni massimali al bordo dell'insieme di definizione del secondo membro della EDO.
[asvg]xmin=-5; xmax=5; ymin=-5; ymax=5;
axes("","");
marker="arrow";
line([0.5,3.5],[1.5,2.5]); line([3,2],[4,1]); line([3,5],[4,4]); line([-2,2],[-1,1]); line([-2,5],[-1,4]); line([-4.5,3.5],[-3.5,2.5]);
line([0.5,-3.5],[1.5,-2.5]); line([3,-2],[4,-1]); line([3,-5],[4,-4]); line([-2,-2],[-1,-1]); line([-2,-5],[-1,-4]); line([-4.5,-3.5],[-3.5,-2.5]);
marker="none";
strokewidth=2; stroke="blue"; line([-6,1.2],[6,-1.2]);
stroke="orange"; line([-6,0],[6,0]);
stroke="red"; line([0,-6],[0,6]);
stroke="lime"; dot([1,1]);[/asvg]
Da ciò segue che si ha sempre (nell'intervallo di definizione $I$) $x+5y(x)>0$ e perciò il PdC con i dati iniziali assegnati si può riscrivere senza il valore assoluto:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) = -y(x)\ \frac{x+5y(x)}{4x^2}\\
y(1) = 1
\end{cases}\; ;
\]
Il secondo membro è omogeneo di grado $0$, dunque l'equazione diventa a variabili separabili ponendo $y(x)=x*u(x)$ con $u(x)$ da determinare risolvendo il PdC ausiliario:
\[
\begin{cases}
x\ u^\prime (x) + u(x)= -u(x)\ \frac{5u(x)+1}{4}\\
u(1) = 1
\end{cases}\; .
\]
La soluzione, se ho fatto bene i conti, è:
\[
u(x) = \frac{1}{2x^{5/4}-1}
\]
definita in $I=]2^(-4/5), +oo[$, sicché la soluzione del PdC assegnato è:
\[
y(x) = \frac{x}{2x^{5/4}-1}
\]
definita nel medesimo intervallo (graficon in verde).
[asvg]xmin=0;xmax=5; ymin=-2; ymax=3;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="blue"; line([-0,0],[11,-2.2]);
stroke="orange"; line([0,0],[11,0]);
stroke="red"; line([0,-6],[0,6]);
stroke="lime"; plot("(2x)/(7x^2 - 5)",0.85, 11); dot([1,1]);[/asvg]
E se invece le due funzioni si fossero intersecate?
[ot]@mobley: Credo che Gugo si sia meritato prima di tutto un grazie, almeno. Ci vuole tempo e fatica per scrivere una roba così, molta gente che dà ripetizioni si fa pagare per molto meno.[/ot]
"dissonance":
[ot]@mobley: Credo che Gugo si sia meritato prima di tutto un grazie, almeno. Ci vuole tempo e fatica per scrivere una roba così, molta gente che dà ripetizioni si fa pagare per molto meno.[/ot]
Pensavo di ringraziarlo una volta conclusi tutti i possibili casi di un'esercizio di questo tipo. Ovviamente lo ringrazio, e lo faccio ora in anticipo, ma non credo che Gugo stia tanto a badare a questi formalismi
La cortesia non è un formalismo.
@unpo'tutti
[ot]I post di gugo sono tra quelli che ti arricchiscono anche quando sai 'tutto', quindi sentiti fortunato a leggerne uno fatto su misura per te
[/ot]
[ot]I post di gugo sono tra quelli che ti arricchiscono anche quando sai 'tutto', quindi sentiti fortunato a leggerne uno fatto su misura per te
[/ot]
"anto_zoolander":
@unpo'tutti
[ot]I post di gugo sono tra quelli che ti arricchiscono anche quando sai 'tutto', quindi sentiti fortunato a leggerne uno fatto su misura per te
Onorato!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo