Eq. diff. a variabili separabili...problemi ad integrare
Salve, sto cercando di risolvere 3 esercizi di equazioni differenziali a variabili separabili.
Per tutte il problema è lo stesso:
ottengo delle equazioni che non riesco ad integrare.
Ecco il primo esercizio:
$ { ( y^{\prime}+x(y^3+y)=0 ),( y(0)=0 ):} $
che io svolgerei così
$ y^{\prime}= -x[y(y^2+1)] $
da cui
$ int_()^() y^{\prime}/(y(y^2+1)) dx = int_()^()-x $
per la parte a destra dell'uguale la soluzione è immediata
$ -x^2/2 $
per la parte a sinistra dell'uguale l'unica soluzione che mi viene in mente è l'integrazione per parti (non riconoscendo nessun integrale fondamentale...)
ma ottengo
$ 1/(y^2+1)logy-int_()^() -logy(1/(y^2+1)^2) dx $
che mi pare pure peggio dato che non saprei come integrare il $ log y $
Dove sbaglio?
Grazie a chi mi aiuterà
Per tutte il problema è lo stesso:
ottengo delle equazioni che non riesco ad integrare.
Ecco il primo esercizio:
$ { ( y^{\prime}+x(y^3+y)=0 ),( y(0)=0 ):} $
che io svolgerei così
$ y^{\prime}= -x[y(y^2+1)] $
da cui
$ int_()^() y^{\prime}/(y(y^2+1)) dx = int_()^()-x $
per la parte a destra dell'uguale la soluzione è immediata
$ -x^2/2 $
per la parte a sinistra dell'uguale l'unica soluzione che mi viene in mente è l'integrazione per parti (non riconoscendo nessun integrale fondamentale...)
ma ottengo
$ 1/(y^2+1)logy-int_()^() -logy(1/(y^2+1)^2) dx $
che mi pare pure peggio dato che non saprei come integrare il $ log y $
Dove sbaglio?
Grazie a chi mi aiuterà
Risposte
Proporrei la scomposizione in fratti semplici! 
@ robying: Una condizione sufficiente a risolvere le EDO è quella di saper come calcolare gli integrali elementari.
Pertanto, ti consiglio di rivedere in un paio di giorni le principali tecniche di integrazione.
Pertanto, ti consiglio di rivedere in un paio di giorni le principali tecniche di integrazione.
"gugo82":
@ robying:
Pertanto, ti consiglio di rivedere in un paio di giorni le principali tecniche di integrazione.
Il mio prof ha dato tutto per scontato, ecco la sua "spiegazione" delle EDO a variabili separabili:
$ { ( y^{\prime}=a(x)b(y) ),( y(x_0)=y_0 ):} $
$ dy/dx=a(x)b(y) $
$ int_()^() dy/(b(y))= int_()^()a(x) dx $
Nessun accenno a tecniche di integrazione.
Mi puoi consigliare qualche dispensa on-line o sito con spiegazioni di queste tecniche.
Grazie
"minomic":
Proporrei la scomposizione in fratti semplici!
Grazie, capisco come funziona e poi ci provo
..anzi mi suggerisci dove posso studiare questo tipo di risoluzioni?
Grazie
Quindi con i fratti semplici dovrei ottenere:
$ 1/(y(y^2+1))=A/y+(By+C)/(y^2+1) $
che mi porterebbe a
$ 1/(y)+(-y)/(y^2+1) $
Giusto?
Ma adesso come devo considerare il $ y^{\prime} $ ?
$ 1/(y(y^2+1))=A/y+(By+C)/(y^2+1) $
che mi porterebbe a
$ 1/(y)+(-y)/(y^2+1) $
Giusto?
Ma adesso come devo considerare il $ y^{\prime} $ ?
dunque, con la scomposizione $ 1/(y)+(-y)/(y^2+1) $ ottieni, sostituendo,
$ int_()^() dy/y - int_()^() y/(y^2+1) dy = int_()^()-x dx $
e da qui integri facilmente:
$ int_()^() dy/y = log(y)+ c_1 $
$int_()^() y/(y^2+1) dy = (log(y^2 +1))/2 + c_1$
$int_()^()-x dx =(-x^2)/2 + c_2$
metti tutto assieme (occhio al segno meno che non ho scritto!) e con le condizioni iniziali del problema di Cauchy trovi le costanti e quindi la soluzione particolare
nota: quell'$y^{\prime}$ viene riscritto come $dy/dx$, poi dx viene portato dall'altra arte e voilà!
$ int_()^() dy/y - int_()^() y/(y^2+1) dy = int_()^()-x dx $
e da qui integri facilmente:
$ int_()^() dy/y = log(y)+ c_1 $
$int_()^() y/(y^2+1) dy = (log(y^2 +1))/2 + c_1$
$int_()^()-x dx =(-x^2)/2 + c_2$
metti tutto assieme (occhio al segno meno che non ho scritto!) e con le condizioni iniziali del problema di Cauchy trovi le costanti e quindi la soluzione particolare
nota: quell'$y^{\prime}$ viene riscritto come $dy/dx$, poi dx viene portato dall'altra arte e voilà!
"poll89":
dunque, con la scomposizione $ 1/(y)+(-y)/(y^2+1) $
Quindi va bene
ci "lavoro" subito.
Grazie poll89
"robying":
[quote="gugo82"]@ robying:
Pertanto, ti consiglio di rivedere in un paio di giorni le principali tecniche di integrazione.
Il mio prof ha dato tutto per scontato, ecco la sua "spiegazione" delle EDO a variabili separabili:
$ { ( y^{\prime}=a(x)b(y) ),( y(x_0)=y_0 ):} $
$ dy/dx=a(x)b(y) $
$ int_()^() dy/(b(y))= int_()^()a(x) dx $
Nessun accenno a tecniche di integrazione.[/quote]
Beh, certo... Le tecniche di integrazione indefinita dovresti saperle già, visto che usualmente vengono spiegate in Analisi I.
"robying":
Mi puoi consigliare qualche dispensa on-line o sito con spiegazioni di queste tecniche.
Basta prendere il tuo libro di Analisi I e rileggere il capitolo sull'integrazione indefinita, facendo tutti gli esercizi annessi e connessi.
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