Eq. diff. a variabili separabili

[emaz92]

vorrei avere dei chiarimenti per risolvere questa equazione a variabili separabili: $y'(1-x^2)+y^2-1=0$
ovviamente $y=y(x)$
la scrivo: $(y')/[(1-y)(1+y)]=1/[(1-x)(1+x)]$ Integro:$intdy/[(1-y)(1+y)]=intdx/[(1-x)(1+x)]$. Facendo un paio di passaggi arrivo a:
$1/2log|[(1+x)/(1-x)]|=1/2log|[(1+y)/(1-y)]| +c$. C'è qualcosa che non mi torna però, il dubbio principale è: come mi devo comportare con le costati additive in questo tipo di equazioni? con l' integrale era semplice, bastava aggiungerla, qui a volte le costanti nei risultati noto che sono anche moltiplicative non solo additive. Per esempio qui il risultato è: $y=[(x+c)/(cx+1)]$, a me, senza considerare le costanti viene $y=x$ che è soluzione quando $c=0$ ovviamente, però per arrivare al caso generale come posso fare?

P.S. le sto studiando da solo le equazioni differenziali, sono in quinta liceo ancora, lo faccio semplicemente perchè mi interessa, quindi non escludo la possibilità che ci possano essere errori di fondo anche non lievi

[Angelo D.1]

Potevi cominciare con qualcosa di più leggero.. se non erro questa è una Bernoulla cioè un caso particolare di un'equazione differenziale del primo ordine, dovresti riguardarti la teoria.

[emaz92]

"Angelo D.":Potevi cominciare con qualcosa di più leggero.. se non erro questa è una Bernoulla cioè un caso particolare di un'equazione differenziale del primo ordine, dovresti riguardarti la teoria.

non so se sia di bernoulli però può essere fatta sicuramente anche con il metodo delle variabili separabili

[Lorin1]

Io direi che è un equazione a variabili separabili invece, basta solamente vederla così: $y'=((1-y^2)/(1-x^2))=> (y')/(1-y^2)=1/(1-x^2)$. Il primo passaggio mi trovo, soltanto che in pratica è più comodo scrivere in questo modo: $1/2log((1+y)/(1-y))=1/2log((1+x)/(1-x))+c$, ora da qui fai un minimo comune multiplo e ottieni $log((1+y)/(1-y))=log((1+x)/(1-x))+2c$ e ora applicando la teoria riguardo le equazioni logaritmiche hai:

$((1+y)/(1-y))=e^[log((1+x)/(1-x))+2c]=e^(log((1+x)/(1-x)))*e^(2c)$

ora poichè $e^(2c)$ è una quantità positiva, allora puoi indicarla con k, oppure di nuovo con c, giusto per non portarti appresso quella notazione scomoda, e dalla teoria hai:

$((1+y)/(1-y))=((1+x)/(1-x))*c , c>0$

Se tutti i passaggi sono corretti, dovresti fare un pò di conticini con m.c.m ecc...

[Angelo D.1]

Ok come non detto allora.. ma il metodo di Bernoulli funziona lo stesso, e a variabili separabili sia

[emaz92]

"Lorin":Io direi che è un equazione a variabili separabili invece, basta solamente vederla così: $y'=((1-y^2)/(1-x^2))=> (y')/(1-y^2)=1/(1-x^2)$. Il primo passaggio mi trovo, soltanto che in pratica è più comodo scrivere in questo modo: $1/2log((1+y)/(1-y))=1/2log((1+x)/(1-x))+c$, ora da qui fai un minimo comune multiplo e ottieni $log((1+y)/(1-y))=log((1+x)/(1-x))+2c$ e ora applicando la teoria riguardo le equazioni logaritmiche hai:

$((1+y)/(1-y))=e^[log((1+x)/(1-x))+2c]=e^(log((1+x)/(1-x)))*e^(2c)$

ora poichè $e^(2c)$ è una quantità positiva, allora puoi indicarla con k, oppure di nuovo con c, giusto per non portarti appresso quella notazione scomoda, e dalla teoria hai:

$((1+y)/(1-y))=((1+x)/(1-x))*c , c>0$

Se tutti i passaggi sono corretti, dovresti fare un pò di conticini con m.c.m ecc...

ciao lorin, grazie della risposta, non mi torna soltanto una cosa: perchè non hai considerato i moduli nei rispettivi logaritmi?

[Lorin1]

immaginavo che lo chiedessi. Io la teoria delle equazioni differenziali l'ho affrontata per la prima volta all'università, come molti studenti del resto, e prima di andare a studiare le varie tecniche di risoluzione di un'equazione ho dovuto studiare alcuni teoremi, noti come teoremi di esistenza ed unicità della soluzione, che come dice anche il nome mi hanno fatto capire sotto quali condizioni è possibile parlare di soluzione di un'equazione. Per non dilungarmi troppo a lungo con cose che penso vedrai l'anno prossimo ^^, c'è da dire che quando si ricerca una soluzione di un'eq. differenziale, poichè essa stessa rappresenta una funzione, con un suo grafico, bisogna scegliere un intervallo di definizione, che dipende dalla variabile x (variabile indipendente), perchè come tu hai visto la soluzione si esplicita utilizzando la x, infatti si parla di $y(x)$ soluzione dell'eq. Nel nostro caso la $x in RR-{-1,1}$, che visto sotto forma di intervalli sarà

$(-oo,-1) uu (-1,1) uu (1,+oo)$

io teoricamente ho scelto l'intervallo $(-1,1)$ perchè in questo intervallo $1-x^2$ è positivo e quindi $|1-x^2|=1-x^2$, per questo non ho considerato i valori assoluti. Spero di essere stato chiaro!

[emaz92]

"Lorin":immaginavo che lo chiedessi. Io la teoria delle equazioni differenziali l'ho affrontata per la prima volta all'università, come molti studenti del resto, e prima di andare a studiare le varie tecniche di risoluzione di un'equazione ho dovuto studiare alcuni teoremi, noti come teoremi di esistenza ed unicità della soluzione, che come dice anche il nome mi hanno fatto capire sotto quali condizioni è possibile parlare di soluzione di un'equazione. Per non dilungarmi troppo a lungo con cose che penso vedrai l'anno prossimo ^^, c'è da dire che quando si ricerca una soluzione di un'eq. differenziale, poichè essa stessa rappresenta una funzione, con un suo grafico, bisogna scegliere un intervallo di definizione, che dipende dalla variabile x (variabile indipendente), perchè come tu hai visto la soluzione si esplicita utilizzando la x, infatti si parla di $y(x)$ soluzione dell'eq. Nel nostro caso la $x in RR-{-1,1}$, che visto sotto forma di intervalli sarà

$(-oo,-1) uu (-1,1) uu (1,+oo)$

io teoricamente ho scelto l'intervallo $(-1,1)$ perchè in questo intervallo $1-x^2$ è positivo e quindi $|1-x^2|=1-x^2$, per questo non ho considerato i valori assoluti. Spero di essere stato chiaro!

chiarissimo, grazie mille!!!