Eq. diff. a variabili separabili

[nato_pigro1]

Dato il problema di Cauchy

${(y'(x) = y(x)*log(y(x))/x), (y(1) = 1/e):}$

Determinare tutte le soluzioni massimali.

Il mio problema è che (1) sono le prime che faccio e ho le idee confuse, (2) se chiamo $g(x)=t*log(t)$, $g$ non è sempre diversa da $0$ per cui non posso procedere come con le altre...

[robbstark1]

Ciao. ti mostro come si può risolvere il problema. Da quello che dici, però, non so se ti hanno insegnato qualche trucco per accorciare il procedimento.
L'equazione data ha senso per $x!=0$, inoltre poichè è definita $y(1)$, si cerca una soluzione massimale definita in $x>0$.
Per prima cosa separo le variabili:
$y'(x)/[y(x)*log(y(x))] = 1/x$
Questo passaggio è legittimo se $y(x)!=0;1$, condizione che è certamente verificata almeno in un intorno di $x=1$, per la continuità di $y(x)$.
Integro entrambi i membri, tenendo conto della condizione iniziale $y(1)=1/e$:
$int_{1/e}^{y(x)} y'(x)/[y(x)*log(y(x))] dy =int_{1}^{x} 1/x dx$
sostituzione: $y(x)=z$, $y'(x)dx=dz$
$int_{1/e}^{z} dz/(z*logz) = log x$
sostituzione: $logz=u$, $dz/z =du$
$int_{-1}^{log z} du/u =log x$
$log|log z|=log x$
$|log z| = x$
$log z=+-x$
$z=e^(+-x)$
Tenendo conto della condizione iniziale:
$y(x)=e^-x$ con $x>0$.
Dal procedimento seguito si deduce l'unicità di questa soluzione massimale.

Infine si può osservare che la soluzione si può estendere naturalmente anche per $x<=0$... e che l'unica estensione ammissibile è $y(x)=e^-x$ $AAx inRR$

[Fioravante Patrone1]

"robbstark":Questo passaggio è legittimo se $y(x)!=0;1$, condizione che è certamente verificata almeno in un intorno di $x=1$, per la continuità di $y(x)$.

Esatto, però si può raggiungere un intervallo più ampio, sfruttando il teorema di esistenza ed unicità. Vedasi il link all'orango...