Eq. Complessa : numero di soluzioni

[Davide Giglioli]

Salve a tutti, propongo un quesito sicuramente facile per molti di voi, ma per me sarebbe utile la vostra risposta in modo da poter capire al meglio il metodo di risoluzione. Grazie mille!
$ z^2+2z+1=0 $

Lo z di primo grado è coniugato, ma non sapevo come metterlo nella formula.
Per risolvere ho provato a sostituire z con a+ib, procedendo poi a fare un sistema in cui eguaglio la parte reale e quella immaginaria a 0. Non so se sto procedendo in modo giusto e come continuare.

[Gi81]

$ z^2+bar(z)+1=0 $

$z= a+ib$, con $a,b, in RR$
Si ha $z^2= a^2-b^2+2iab$ e $bar(z) = a-ib$ e l'equazione diventa: $a^2-b^2+2iab+a-ib+1 = 0$
Separando parte reale e parte immaginaria otteniamo: ${(a^2-b^2+a+1 = 0),(2ab-b= 0):} =>
{(a^2+a+1 = b^2),(b = 0 vv a= 1/2):}$

[Davide Giglioli]

Ciao! Grazie mille, però ho fatto un errore durante la scrittura: lo z di primo grado, oltre a essere coniugato, ha come coefficiente +2. Mi scuso per la sbadatezza e ti ringrazio per la risposta

[pilloeffe]

Ciao Davide Giglioli,

"Davide Giglioli":però ho fatto un errore durante la scrittura: lo z di primo grado, oltre a essere coniugato, ha come coefficiente +2.

Ah ok, quindi $ z^2 + 2\bar(z) + 1 = 0 $

$ z^2 + 2\bar(z) + 1 = 0 $

Procedendo in modo analogo a quanto ti ha già scritto Gi8 si trovano le tre soluzioni seguenti:

$z_ 1 = - 1 $ (unica soluzione reale)

$z_2 = 1 + 2i $

$z_3 = \bar{z}_2 = 1 - 2i $