[Eq. calore] Problema con derivata temporale
Salve ragazzi. Ho un problema. Sul Partial Differential Equations di Evans si cerca la soluzione al problema
[tex]\begin{cases}
u_t-\Delta u=f & \text{in $R^n \times (0,\infty)$} \\
u=0 & \text{su $R^n \times\{t=0\}$}.
\end{cases}[/tex]
A tal fine si definisce la funzione [tex]u=u(x,t;s)=\int_{R^n}\Phi(x-y,t-s)f(y,s)\,dy[/tex] e per il principio di Duhamel la funzione [tex]u(x,t)=\int_0^t u(x,t;s)\,ds[/tex] con [tex]x\in R^n,t\ge0[/tex] risolve il problema non omogeneo.
Adesso si supponga che [tex]f \in C^2_1 (R^n \times [0,\infty))[/tex]e che [tex]f[/tex] sia a supporto compatto. Derivando la funzione [tex]u(x,t)[/tex] rispetto al tempo sul libro (pag.50) leggo che
[tex]u_t(x,t)=\int_0^t \int_{R^n}\Phi(y,s)f_t(x-y,t-s)\,dy\,ds + \int_{R^n}\Phi(y,t)f(x-y,0)\,dy[/tex].
Da dove esce il secondo termine? Potrebbe essere la valutazione dell'integranda per [tex]t=s[/tex] ossia sul "bordo". Mi dareste una mano?
[tex]\begin{cases}
u_t-\Delta u=f & \text{in $R^n \times (0,\infty)$} \\
u=0 & \text{su $R^n \times\{t=0\}$}.
\end{cases}[/tex]
A tal fine si definisce la funzione [tex]u=u(x,t;s)=\int_{R^n}\Phi(x-y,t-s)f(y,s)\,dy[/tex] e per il principio di Duhamel la funzione [tex]u(x,t)=\int_0^t u(x,t;s)\,ds[/tex] con [tex]x\in R^n,t\ge0[/tex] risolve il problema non omogeneo.
Adesso si supponga che [tex]f \in C^2_1 (R^n \times [0,\infty))[/tex]e che [tex]f[/tex] sia a supporto compatto. Derivando la funzione [tex]u(x,t)[/tex] rispetto al tempo sul libro (pag.50) leggo che
[tex]u_t(x,t)=\int_0^t \int_{R^n}\Phi(y,s)f_t(x-y,t-s)\,dy\,ds + \int_{R^n}\Phi(y,t)f(x-y,0)\,dy[/tex].
Da dove esce il secondo termine? Potrebbe essere la valutazione dell'integranda per [tex]t=s[/tex] ossia sul "bordo". Mi dareste una mano?
Risposte
La derivata rispetto a $t$ di una funzione del tipo
[tex]$g(x,t)=\int_{\alpha(t)}^{\beta(t)} f(x,t; s)\ ds$[/tex]
è data da
[tex]$\frac{\partial g}{\partial t}(x,t)=\int_{\alpha(t)}^{\beta(t)} \frac{\partial f}{\partial t}(x,t; s)\ ds+\beta'(t)\cdot f(x,t;\beta(t))-\alpha'(t)\cdot f(x,t; \alpha(t))$[/tex]
nel tuo caso [tex]f(x,t;s)=u(x,t,s),\ \alpha(t)=0,\ \beta(t)=t$[/tex]
[tex]$g(x,t)=\int_{\alpha(t)}^{\beta(t)} f(x,t; s)\ ds$[/tex]
è data da
[tex]$\frac{\partial g}{\partial t}(x,t)=\int_{\alpha(t)}^{\beta(t)} \frac{\partial f}{\partial t}(x,t; s)\ ds+\beta'(t)\cdot f(x,t;\beta(t))-\alpha'(t)\cdot f(x,t; \alpha(t))$[/tex]
nel tuo caso [tex]f(x,t;s)=u(x,t,s),\ \alpha(t)=0,\ \beta(t)=t$[/tex]
ti ringrazio. Mi consigli un testo nel quale approfondire la cosa?
Un testo qualsiasi di Analisi II, direi... Tanto è un'applicazione dei teoremi di derivazione della funzione composta e di derivazione dell'integrale dipendente da un parametro.
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