Eq autonome a variabili separabili e traslazione
Per la $y' = h(y)$ (autonoma) vale la proprietà che se $\phi(t)$ è una soluzione, allora lo è anche
$\psi(t) = \phi(t+a)$ (1),
cioè la composizione $\psi$ della soluzione $\phi$ con la traslazione $\tau(t) = t+a$.
DIM. Devo dimostrare che $\phi(t+a)$ è soluzione (*), cioè che soddisfa l'uguaglianza $\phi'(t+a) = h(\phi(t+a))$.
$\phi'(t+a) = \phi(\tau(t))$. Facendo la derivata della composta:
$\phi'(t+a) = \phi(\tau(t)) = \phi'(t+a)\tau'(t) = \phi'(t+a) * 1 $ (3)
Ma $\phi(t+a)$ è soluzione n(**), quindi $\phi'(t+a)$ è uguale a $h(\phi(t+a)$ $ square $ (2)
Il dubbio è: perché non avrei potuto scrivere la (2) già all'inizio, in (1)? Cioè, perché non avrei potuto dire semplicemente
che siccome $\psi(t) = \phi(t+a)$, allora se una è soluzione lo è anche l'altra? Non sarebbe corretta anche perché non terrei conto dell'ipotesi "autonoma"; ma probabilmente sto anche usando male la composizione e sto confondendo la funzione traslata di $a$ (1) col valore della funzione non traslata in $t + a$. Cioè, in (1) all'inizio ho la funzione traslata, che devo dimostrare essere soluzione, mentre in (2) ho la funzione non traslata $\phi$ in $t+a$. E' corretto? Sto facendo fatica a intuire questa differenza, se è lì il problema.
*, ** [EDIT]: p.s. Non riesco nemmeno a eliminare l'apparente (?) circolo vizioso (*; **).
$\psi(t) = \phi(t+a)$ (1),
cioè la composizione $\psi$ della soluzione $\phi$ con la traslazione $\tau(t) = t+a$.
DIM. Devo dimostrare che $\phi(t+a)$ è soluzione (*), cioè che soddisfa l'uguaglianza $\phi'(t+a) = h(\phi(t+a))$.
$\phi'(t+a) = \phi(\tau(t))$. Facendo la derivata della composta:
$\phi'(t+a) = \phi(\tau(t)) = \phi'(t+a)\tau'(t) = \phi'(t+a) * 1 $ (3)
Ma $\phi(t+a)$ è soluzione n(**), quindi $\phi'(t+a)$ è uguale a $h(\phi(t+a)$ $ square $ (2)
Il dubbio è: perché non avrei potuto scrivere la (2) già all'inizio, in (1)? Cioè, perché non avrei potuto dire semplicemente
che siccome $\psi(t) = \phi(t+a)$, allora se una è soluzione lo è anche l'altra? Non sarebbe corretta anche perché non terrei conto dell'ipotesi "autonoma"; ma probabilmente sto anche usando male la composizione e sto confondendo la funzione traslata di $a$ (1) col valore della funzione non traslata in $t + a$. Cioè, in (1) all'inizio ho la funzione traslata, che devo dimostrare essere soluzione, mentre in (2) ho la funzione non traslata $\phi$ in $t+a$. E' corretto? Sto facendo fatica a intuire questa differenza, se è lì il problema.
*, ** [EDIT]: p.s. Non riesco nemmeno a eliminare l'apparente (?) circolo vizioso (*; **).
Risposte
Ciao Jitter,
per la tua funzione autonoma possimo scrivere:
$y'(t) = h(y(t))$
se $phi(t) $ è una soluzione, $AA t in I $ varrà:
$phi'(t) = h(phi(t))$ ossia $(dphi(t))/(dt) = h(phi(t))$
allora prendo un punto $(t+alpha) in I$ , siccome appartiene all'intervallo di soluzione allora deve valere anche:
$(dphi(t+alpha))/(dt) = h(phi(t+alpha))$ (i)
ma derivando questa ultima espressione ottengo:
$(dphi(t+alpha))/(dt) =(dphi(t+alpha))/(d(t+alpha))*(d(t+alpha))/(dt) = (dphi(t+alpha))/(d(t+alpha))*1$
quindi sostituendo nella (i) ottengo:
$(dphi(t+alpha))/(d(t+alpha)) = h(phi(t+alpha))$ ossia $phi'(t+alpha) = h(phi(t+alpha))$
$AA (t+alpha) in I$
ed abbiamo così ottenuto la nostra eq. diff. traslata.
c.v.d.
Spero ti sia sufficiente. A presto.
Bye
per la tua funzione autonoma possimo scrivere:
$y'(t) = h(y(t))$
se $phi(t) $ è una soluzione, $AA t in I $ varrà:
$phi'(t) = h(phi(t))$ ossia $(dphi(t))/(dt) = h(phi(t))$
allora prendo un punto $(t+alpha) in I$ , siccome appartiene all'intervallo di soluzione allora deve valere anche:
$(dphi(t+alpha))/(dt) = h(phi(t+alpha))$ (i)
ma derivando questa ultima espressione ottengo:
$(dphi(t+alpha))/(dt) =(dphi(t+alpha))/(d(t+alpha))*(d(t+alpha))/(dt) = (dphi(t+alpha))/(d(t+alpha))*1$
quindi sostituendo nella (i) ottengo:
$(dphi(t+alpha))/(d(t+alpha)) = h(phi(t+alpha))$ ossia $phi'(t+alpha) = h(phi(t+alpha))$
$AA (t+alpha) in I$
ed abbiamo così ottenuto la nostra eq. diff. traslata.
c.v.d.
Spero ti sia sufficiente. A presto.
Bye
@jitter: Si, stai facendo una classica confusione con le notazioni. Se uno scrive $\phi'(x+a)$ non si capisce bene cosa voglia dire: potrebbe dire "calcola la derivata di $\phi$ e valutala in $x+a$" oppure "sostituisci a $\phi$ la funzione $x\mapsto \phi(x+a)$ poi calcolane la derivata". Di solito l'interpretazione è la prima.
Il fatto è che, siccome la funzione $x\mapsto x+a$ ha derivata pari a $1$, le due cose coincidono. Quando però uno comincia considerare cose come $\phi(x^2)$ bisogna fare parecchia più attenzione. (Io mi confondo sempre su queste robe qua.)
Il fatto è che, siccome la funzione $x\mapsto x+a$ ha derivata pari a $1$, le due cose coincidono. Quando però uno comincia considerare cose come $\phi(x^2)$ bisogna fare parecchia più attenzione. (Io mi confondo sempre su queste robe qua.)
Grazie a entrambi, e scusate se rispondo solo ora!
Ora mi è più chiaro, con la traslazione comunque mi incasino da sempre
Ora mi è più chiaro, con la traslazione comunque mi incasino da sempre
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