Enunciato sui numeri interi

[Alin2]

Ho qualche dubbio su questa dimostrazione
$∀a,b,c∈Z,∃s,t∈Z:sa+tb=c⇔MCD(a,b)∣c$
Io so che sistono $a,b,c in ZZ$ tali che $sa+tb=c$. Quindi ho che $MCD(a,b)|c$ cioè $MCD=c$
$rArr$
Sia $d=MCD(a,b)$, allora per definizione di $MCD$, $d∣a$ e $d∣b$,cioè per definizione di divisibilità $a=dv$ e $b=dw$.
allora $dvs+dwt=c$ cioè $d∣c$
$⇐$
$d∣c$ allora $dk=c$ per defindizione di divisibilità e per Bezout
esistono $v$ e $w$ tali che $av+bw=d$
moltiplicando entrambi i membri dell'ultima per $k$ ottengo che
$avk+bwk=dk$
quindi esistono $s=vk$ e $t=wk$ tali che vale
$sa+tb=c$
Può passare? Grazie

[otta96]

"Alin":Io so che sistono $a,b,c in ZZ$ tali che $sa+tb=c$. Quindi ho che $MCD(a,b)|c$ cioè $MCD=c$ $rArr$

L'unica cosa che non va bene è che non devi usare $c$ qua, perchè è già nell'enunciato, inoltre $MCD(a,b)|c$ non implica $MCD=c$.

[Alin2]

Grazie otta96!
Solo se il $ MCD(a,b)|1 $ implica $ MCD=1 $. Vero?
In tal caso la dimostrazione non sarebbe cambiata..

[otta96]

"Alin":Solo se il $ MCD(a,b)|1 $ implica $ MCD=1 $. Vero?

Sì.