Enunciato corretto del teorema di Helmholtz
Su diversi testi ho trovata diversi enunciati del teorema di Helmoltz e non riesco a capire quale sia quello corretto e/o perché sono enunciati diversamente.
Ne riporto uno per poi evidenziare le differenze con gli altri
In altri testi si parla invece di somma di un campo irrotazionale ed uno indivergente. e poi si chede che il campo V(r) sia tale che $lim_{r\to \infty} r^2 V(r)<\infty$
Qual è l'enunciato esatto?
Ne riporto uno per poi evidenziare le differenze con gli altri
Sia $\mathbf{V(r)}$ un campo vettoriale differenziabile due volte con continuità e che vada a zero all'infinito almeno come $1/r$. Allora esso può essere scritto come la somma di due campi vettoriali, uno solenoidale e l'altro conservativo.
In altri testi si parla invece di somma di un campo irrotazionale ed uno indivergente. e poi si chede che il campo V(r) sia tale che $lim_{r\to \infty} r^2 V(r)<\infty$
Qual è l'enunciato esatto?
Risposte
solenoidale = indivergente = la divergenza/flusso è zero...sempre.
conservativo = irrotazionale = il rotore è zero..sempre
P.S. Intendo su tragitti chiusi
conservativo = irrotazionale = il rotore è zero..sempre
P.S. Intendo su tragitti chiusi
"Bokonon":
solenoidale = indivergente = la divergenza/flusso è zero...sempre.
conservativo = irrotazionale = il rotore è zero..sempre
P.S. Intendo su tragitti chiusi
Non è affatto vero.
Un campo solenoidale è indivergente ma un campo indivergente è solenoidale solo se è definito in un aperto a connessione superficiale semplice.
Una campo conservativo è irrotazionale ma un campo irrotazionale è conservativo solo se definito in un aperto a connessione lineare semplice.
Ciao Bbach,
Benvenuto sul forum!
Ricordo di aver visto il teorema in Oggetto negli esami di Campi Elettromagnetici e Circuiti I e in Elettronica quantistica, in particolare nella quantizzazione del campo elettromagnetico.
La formulazione che abbiamo usato è la seguente:
Sia $\mathbf{F(r)} $ un campo vettoriale differenziabile due volte con continuità in un dominio $V \sube \RR^3 $ ed $ S $ la superficie che racchiude il dominio $ V $. Allora $\mathbf{F(r)} $ può essere scritto come la somma di due campi vettoriali, uno longitudinale o irrotazionale ed uno trasverso o solenoidale:
$ \mathbf{F(r)} = - \grad \varphi(\mathbf{r}) + \grad \times \mathbf{A(r)} = \mathbf{F_l(r)} + \mathbf{F_t(r)} $
nota come decomposizione di Helmoltz, ove
$ \varphi(\mathbf{r}) = 1/(4\pi)\int_{V}\frac{\nabla' \cdot \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \text{d}V' - 1/(4\pi)\int_{S} \frac{\mathbf{\hat n}' \cdot \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \text{d}S' $
$\mathbf{A(r)} = 1/(4\pi)\int_{V}\frac{\nabla' \times \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \text{d}V' - 1/(4\pi)\int_{S} \frac{\mathbf{\hat n}' \times \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \text{d}S' $
sono rispettivamente il potenziale scalare ed il potenziale vettore e con $\nabla' $ si intende $\nabla $ rispetto a $\mathbf{r}' $. Se $V = \RR^3 $ e $\mathbf{F(r)} $ va a $0$ più velocemente di $1/r $ per $ r \to +\infty $, allora gli integrali di superficie nel potenziale scalare e nel potenziale vettore sono nulli e si ha:
$ \varphi(\mathbf{r}) = 1/(4\pi)\int_{\RR^3}\frac{\nabla' \cdot \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \text{d}V' $
$\mathbf{A(r)} = 1/(4\pi)\int_{\RR^3}\frac{\nabla' \times \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \text{d}V' $
Dai un'occhiata anche qui: https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Helmholtz
Per i calcoli guarda il punto 2. delle Note ed eventualmente la versione in inglese:
https://en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_decomposition
Benvenuto sul forum!
Ricordo di aver visto il teorema in Oggetto negli esami di Campi Elettromagnetici e Circuiti I e in Elettronica quantistica, in particolare nella quantizzazione del campo elettromagnetico.
La formulazione che abbiamo usato è la seguente:
Sia $\mathbf{F(r)} $ un campo vettoriale differenziabile due volte con continuità in un dominio $V \sube \RR^3 $ ed $ S $ la superficie che racchiude il dominio $ V $. Allora $\mathbf{F(r)} $ può essere scritto come la somma di due campi vettoriali, uno longitudinale o irrotazionale ed uno trasverso o solenoidale:
$ \mathbf{F(r)} = - \grad \varphi(\mathbf{r}) + \grad \times \mathbf{A(r)} = \mathbf{F_l(r)} + \mathbf{F_t(r)} $
nota come decomposizione di Helmoltz, ove
$ \varphi(\mathbf{r}) = 1/(4\pi)\int_{V}\frac{\nabla' \cdot \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \text{d}V' - 1/(4\pi)\int_{S} \frac{\mathbf{\hat n}' \cdot \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \text{d}S' $
$\mathbf{A(r)} = 1/(4\pi)\int_{V}\frac{\nabla' \times \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \text{d}V' - 1/(4\pi)\int_{S} \frac{\mathbf{\hat n}' \times \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \text{d}S' $
sono rispettivamente il potenziale scalare ed il potenziale vettore e con $\nabla' $ si intende $\nabla $ rispetto a $\mathbf{r}' $. Se $V = \RR^3 $ e $\mathbf{F(r)} $ va a $0$ più velocemente di $1/r $ per $ r \to +\infty $, allora gli integrali di superficie nel potenziale scalare e nel potenziale vettore sono nulli e si ha:
$ \varphi(\mathbf{r}) = 1/(4\pi)\int_{\RR^3}\frac{\nabla' \cdot \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \text{d}V' $
$\mathbf{A(r)} = 1/(4\pi)\int_{\RR^3}\frac{\nabla' \times \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \text{d}V' $
Dai un'occhiata anche qui: https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Helmholtz
Per i calcoli guarda il punto 2. delle Note ed eventualmente la versione in inglese:
https://en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_decomposition
"Bbach":
Non è affatto vero.
Un campo solenoidale è indivergente ma un campo indivergente è solenoidale solo se è definito in un aperto a connessione superficiale semplice.
Una campo conservativo è irrotazionale ma un campo irrotazionale è conservativo solo se definito in un aperto a connessione lineare semplice.
E' differenziabile due volte con continuità nel dominio.
Avevo pensato che il dubbio sulle due definizioni riguardasse i termini utilizzati: ma non sembra quello il problema.
Ciao arnett,
Prego, figurati...
Sono d'accordo con te e mi sa che le cose peggioreranno... Comunque ad Analisi II non lo vidi neanch'io a suo tempo, con tutto che l'insegnamento era annuale. Poi sono arrivati gli esami di Campi Elettromagnetici e Circuiti I ed Elettronica quantistica e me lo sono visto spesso davanti (fra i pochi esami che ho sostenuto nei quali ho preso il massimo dei voti). Sarebbe un discorso un po' lungo da fare, ma personalmente ritengo che non tanto il sistema dei crediti quanto il 3 + 2 sia stata un po' una rovina: non me la sentirei di generalizzare il discorso a tutti i corsi di laurea, ma per ingegneria di sicuro...
"arnett":
Grazie pilloeffe, anche da parte mia
Prego, figurati...
"arnett":
A me fu soltanto citato, per conoscenza, ad analisi due ma credo che meriti attenzione. Il più delle volte in analisi due non si arriva neanche a fare i campi solenoidali, è un peccato secondo me.
Sono d'accordo con te e mi sa che le cose peggioreranno... Comunque ad Analisi II non lo vidi neanch'io a suo tempo, con tutto che l'insegnamento era annuale. Poi sono arrivati gli esami di Campi Elettromagnetici e Circuiti I ed Elettronica quantistica e me lo sono visto spesso davanti (fra i pochi esami che ho sostenuto nei quali ho preso il massimo dei voti). Sarebbe un discorso un po' lungo da fare, ma personalmente ritengo che non tanto il sistema dei crediti quanto il 3 + 2 sia stata un po' una rovina: non me la sentirei di generalizzare il discorso a tutti i corsi di laurea, ma per ingegneria di sicuro...
"arnett":
[quote="Bbach"]
Non è affatto vero.
Un campo solenoidale è indivergente ma un campo indivergente è solenoidale solo se è definito in un aperto a connessione superficiale semplice.
Una campo conservativo è irrotazionale ma un campo irrotazionale è conservativo solo se definito in un aperto a connessione lineare semplice.
Anche questo non è esatto: se un campo è definito in un dominio semplicemente connesso (linearmente) allora è conservativo se e solo se è irrotazionale. Esistono però campi irrotazionali definiti in regioni non semplicemente connesse (linearmente) che sono anche conservativi.
Sono abbastanza certo che un discorso analogo valga per i campi solenoidali. Quanto al teorema di Helmoltz non so; io lo ricordo come decomposizione (in qualche senso per ortogonalità) in un campo solenoidale e in uno conservativo, ma non ti so dire con sicurezza.[/quote]
Sì hai ragione. Mi sono espresso male.
"pilloeffe":
Ciao Bbach,
Benvenuto sul forum!
Ricordo di aver visto il teorema in Oggetto negli esami di Campi Elettromagnetici e Circuiti I e in Elettronica quantistica, in particolare nella quantizzazione del campo elettromagnetico.
La formulazione che abbiamo usato è la seguente:
Sia $\mathbf{F(r)} $ un campo vettoriale differenziabile due volte con continuità in un dominio $V \sube \RR^3 $ ed $ S $ la superficie che racchiude il dominio $ V $. Allora $\mathbf{F(r)} $ può essere scritto come la somma di due campi vettoriali, uno longitudinale o irrotazionale ed uno trasverso o solenoidale:
$ \mathbf{F(r)} = - \grad \varphi(\mathbf{r}) + \grad \times \mathbf{A(r)} = \mathbf{F_l(r)} + \mathbf{F_t(r)} $
nota come decomposizione di Helmoltz, ove
$ \varphi(\mathbf{r}) = 1/(4\pi)\int_{V}\frac{\nabla' \cdot \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \text{d}V' - 1/(4\pi)\int_{S} \frac{\mathbf{\hat n}' \cdot \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \text{d}S' $
$\mathbf{A(r)} = 1/(4\pi)\int_{V}\frac{\nabla' \times \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \text{d}V' - 1/(4\pi)\int_{S} \frac{\mathbf{\hat n}' \times \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \text{d}S' $
sono rispettivamente il potenziale scalare ed il potenziale vettore e con $\nabla' $ si intende $\nabla $ rispetto a $\mathbf{r}' $. Se $V = \RR^3 $ e $\mathbf{F(r)} $ va a $0$ più velocemente di $1/r $ per $ r \to +\infty $, allora gli integrali di superficie nel potenziale scalare e nel potenziale vettore sono nulli e si ha:
$ \varphi(\mathbf{r}) = 1/(4\pi)\int_{\RR^3}\frac{\nabla' \cdot \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \text{d}V' $
$\mathbf{A(r)} = 1/(4\pi)\int_{\RR^3}\frac{\nabla' \times \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \text{d}V' $
Dai un'occhiata anche qui: https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Helmholtz
Per i calcoli guarda il punto 2. delle Note ed eventualmente la versione in inglese:
https://en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_decomposition
Grazie mille pilloeffe! Anch'io ho scoperto questo teorema preparando Campi Elettromagnetici. Da wikipedia in inglese vedo anche che c'è un altro teorema simile che va sotto il nome di teorema di Helmholtz e forse da qui nasce un po' la confusione: è descritto nel paragrafo "Fields with prescribed divergence and curl".
Sapreste indicarmi anche dei testi in cui trovare la matematica necessaria per affrontare questi esami? Forse dei libri di metodi matematici per la fisica?
"Bbach":
Grazie mille pilloeffe!
Prego!
"Bbach":
Anch'io ho scoperto questo teorema preparando Campi Elettromagnetici. Da wikipedia in inglese vedo anche che c'è un altro teorema simile che va sotto il nome di teorema di Helmholtz e forse da qui nasce un po' la confusione: è descritto nel paragrafo "Fields with prescribed divergence and curl".
Visto. Campi con assegnata divergenza e rotore. Se noti questa "versione" ha una applicazione diretta nelle equazioni di Maxwell, ove in tal caso $\mathbf{C} = \mathbf{B} $ e $\mathbf{F} = \mathbf{A} $. Infatti l'equazione di Maxwell che stabilisce che la divergenza di $\mathbf{B}$ è nulla permette di riscrivere il campo magnetico derivandolo da una funzione potenziale, ossia come il rotore di un campo vettoriale $ \mathbf{A} $ detto potenziale vettore:
$ \grad \cdot \mathbf{B} = 0 \implies \grad \times \mathbf{A} = \mathbf{B} $
valida ponendo di trovarsi in un dominio semplicemente connesso, mentre l'altra è la condizione di Lorenz:
$ \nabla \cdot \mathbf{A} = - 1/c^2 (del\varphi)/(del t) = d $
Facendo uso dell'equazione $ \grad \times \mathbf{A} = \mathbf{B} $ si può riscrivere la legge dell'induzione elettromagnetica di Faraday-Neumann nel modo seguente:
$ \grad \times \mathbf{E} = - (del)/(del t) \grad \times \mathbf{A} \implies \grad \times (\mathbf{E} + (del)/(del t) \mathbf{A}) = 0 $
Poiché il termine fra parentesi tonde è irrotazionale, esso può essere scritto come il gradiente di una funzione scalare, il potenziale scalare $\varphi $:
$ \mathbf{E} + (del \mathbf{A})/(del t) = - \grad \varphi $
Perciò in definitiva si ha:
$ \mathbf{E} = - \grad \varphi - (del \mathbf{A})/(del t) \qquad \qquad \qquad \mathbf{B} = \grad \times \mathbf{A} $
Dai un'occhiata anche qui https://it.wikipedia.org/wiki/Equazioni_di_Maxwell
ma soprattutto alla migliore versione in inglese qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations
"Bbach":
Sapreste indicarmi anche dei testi in cui trovare la matematica necessaria per affrontare questi esami? Forse dei libri di metodi matematici per la fisica?
Ecco qui invece mi trovo in difficoltà perché almeno sui miei testi di Analisi II non vi era nulla in proposito, mentre in Metodi matematici per la Fisica (che nel mio corso di laurea si chiamava Complementi di matematiche) abbiamo fatto tutt'altro...
Risultati di questo tipo si chiamano "decomposizioni di Hodge" e nella matematica moderna in genere si studiano usando le forme differenziali. Uno come me, quindi, non ci capisce più niente. Questo articolo dell'American Mathematical Monthly 2002 (Cantarella, De Turck, Gluck, "Vector calculus and the topology of domains in 3 space") spiega bene tutti i dettagli in termini di campi vettoriali, è una lettura un po' difficile ma consigliata:
http://www.jstor.org/stable/2695643
http://www.jstor.org/stable/2695643
Ciao dissonance,
Niente male, ma è una lettura un po' difficile anche per me: sono sincero, non avrei preso in considerazione una lettura del genere se me l'avessero proposta mentre studiavo Campi Elettromagnetici e Circuiti I...
@Bbach
Qualche dettaglio matematico in più si trova su alcuni libri (soprattutto nelle appendici) che ho studiato e riporto qui di seguito, ma mi sa che sono ormai piuttosto difficili da trovare (anche perché sono passati 22 anni da quando mi sono laureato...
):
1) Gian Carlo Corazza - Campi elettromagnetici - Prima edizione febbraio 1994 - Zanichelli
2) Giuseppe Conciauro - Introduzione alle onde elettromagnetiche - Prima edizione febbraio 1993 - McGraw-Hill
"dissonance":
Questo articolo dell'American Mathematical Monthly 2002 (Cantarella, De Turck, Gluck, "Vector calculus and the topology of domains in 3 space") spiega bene tutti i dettagli in termini di campi vettoriali, è una lettura un po' difficile
Niente male, ma è una lettura un po' difficile anche per me: sono sincero, non avrei preso in considerazione una lettura del genere se me l'avessero proposta mentre studiavo Campi Elettromagnetici e Circuiti I...
@Bbach
Qualche dettaglio matematico in più si trova su alcuni libri (soprattutto nelle appendici) che ho studiato e riporto qui di seguito, ma mi sa che sono ormai piuttosto difficili da trovare (anche perché sono passati 22 anni da quando mi sono laureato...
):1) Gian Carlo Corazza - Campi elettromagnetici - Prima edizione febbraio 1994 - Zanichelli
2) Giuseppe Conciauro - Introduzione alle onde elettromagnetiche - Prima edizione febbraio 1993 - McGraw-Hill
"pilloeffe":
non avrei preso in considerazione una lettura del genere se me l'avessero proposta mentre studiavo Campi Elettromagnetici e Circuiti I...
Noo, non era quella l'idea. Non bisogna studiare quell'articolo, per passare un esame. Dicevo di dare una occhiata sommaria per capire che tipo di matematica c'è dietro, tutto qui. Io stesso non ho mai letto quell'articolo da inizio a fine, ma ogni tanto lo consulto.
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