Enormi dubbi sulle serie numeriche
Abbiamo cominciato da poco in Analisi 2 le serie numeriche e introdotti i vari criteri.
Ho cercato qui sul forum quale criterio è più conveniente usare e a quanto pare sembra essere una cosa "personale". In teoria vanno tutti bene, ma ci sono sempre quelli che non danno informazioni utili quando si arriva alla fine, o altri più veloci per la serie da studiare in questione. Quindi evito questa domanda.
Ho però altre domande.
1) A lezione si continua a ripetere la "condizione necessaria". Si tratta per caso di lim(k->inf) di ak =0?
2) Le condizioni del criterio di Leibniz o come si scrive sono: bk > 0; limite di bk a +infinito = 0; bk decrescente? E di conseguenza, se tutte queste sono verificate la serie converge?
3) Gran parte delle serie a segni alterni che abbiamo visto e risolte con sto povero cristo di Leibniz, è possibile che siano tutte risolvibili con il criterio di convergenza assoluta? Non so se sbaglio io, ma mi tornano tutti i risultati per tutte le serie a segni alterni.
Ho cercato qui sul forum quale criterio è più conveniente usare e a quanto pare sembra essere una cosa "personale". In teoria vanno tutti bene, ma ci sono sempre quelli che non danno informazioni utili quando si arriva alla fine, o altri più veloci per la serie da studiare in questione. Quindi evito questa domanda.
Ho però altre domande.
1) A lezione si continua a ripetere la "condizione necessaria". Si tratta per caso di lim(k->inf) di ak =0?
2) Le condizioni del criterio di Leibniz o come si scrive sono: bk > 0; limite di bk a +infinito = 0; bk decrescente? E di conseguenza, se tutte queste sono verificate la serie converge?
3) Gran parte delle serie a segni alterni che abbiamo visto e risolte con sto povero cristo di Leibniz, è possibile che siano tutte risolvibili con il criterio di convergenza assoluta? Non so se sbaglio io, ma mi tornano tutti i risultati per tutte le serie a segni alterni.
Risposte
Per quanto riguarda le prime due domande la risposta è si...
Per quanto riguarda la terza considera $ sum_(n=1)^infty(-)^n/n $ ... la serie converge usando il criterio di Leibniz ma diverge assolutamente infatti la convergenza assoluta implica la convergenza semplice, mentre non è sempre vero il viceversa.
Per quanto riguarda la terza considera $ sum_(n=1)^infty(-)^n/n $ ... la serie converge usando il criterio di Leibniz ma diverge assolutamente infatti la convergenza assoluta implica la convergenza semplice, mentre non è sempre vero il viceversa.
Ma se mi si chiede il comportamento per esempio di quella serie lì, se uso Leibniz converge mentre con la convergenza assoluta diverge come dici tu...
La risposta giusta è diverge? Visto che se non sbaglio, l'implicazione della convergenza assoluta è "da un certo punto in poi" o definitivamente.
La risposta giusta è diverge? Visto che se non sbaglio, l'implicazione della convergenza assoluta è "da un certo punto in poi" o definitivamente.
la risposta alla tua domanda te la data correttamente Pierlu11 ....
La convergenza assoluta e la convergenza semplice sono due "tipi" di convergenza... non per forza una serie deve converge o divergere in entrambi i modi...
Da come mi sembra di capire la interpreti come un criterio... ma non è così...
Da come mi sembra di capire la interpreti come un criterio... ma non è così...
Il fatto è che non capisco come usarle...
Cioè se devo studiare la convergenza (o divergenza) e ho la serie $ sum_(k=1)^infty(-1)^k/(2k+cosk) $ con Leibniz so che converge perchè bk > 0, lim k->inf bk=0 e bk è decrescente.
Se usassi la convergenza assoluta, non avrei il problema del denominatore e la serie sarebbe uguale a $ sum_(k=1)^infty1/(2k+cosk) $ che è circa uguale a $ sum_(k=1)^infty1/(2k) $ e facendoci il limite a infinito, vedo che converge di nuovo.
O sono io che mi invento i "ragionamenti" senza capire cosa faccio, o non so...E' giusta l'ipotesi su quell'esempio?
Non è che stia capendo molto di queste benedette serie, eh. Chiedo qui per evitare di avere sti dubbi macroscopici alla fine del corso di analisi 2...
Cioè se devo studiare la convergenza (o divergenza) e ho la serie $ sum_(k=1)^infty(-1)^k/(2k+cosk) $ con Leibniz so che converge perchè bk > 0, lim k->inf bk=0 e bk è decrescente.
Se usassi la convergenza assoluta, non avrei il problema del denominatore e la serie sarebbe uguale a $ sum_(k=1)^infty1/(2k+cosk) $ che è circa uguale a $ sum_(k=1)^infty1/(2k) $ e facendoci il limite a infinito, vedo che converge di nuovo.
O sono io che mi invento i "ragionamenti" senza capire cosa faccio, o non so...E' giusta l'ipotesi su quell'esempio?
Non è che stia capendo molto di queste benedette serie, eh. Chiedo qui per evitare di avere sti dubbi macroscopici alla fine del corso di analisi 2...
La serie che hai scritto converge semplicemente come hai dimostrato con il criterio di Leibniz, ma assolutamente DIVERGE perché asintotica a un'armonica...
Questo vuol dire, in termini poco formali, che la "somma degli infiniti termini" converge a un valore finito (convergenza semplice), mentre la "somma degli infiniti termini IN MODULO" diverge (convergenza assoluta)...
Non capisco qual è l'aspetto che non è chiaro...
Questo vuol dire, in termini poco formali, che la "somma degli infiniti termini" converge a un valore finito (convergenza semplice), mentre la "somma degli infiniti termini IN MODULO" diverge (convergenza assoluta)...
Non capisco qual è l'aspetto che non è chiaro...
Perchè assolutamente diverge?
La serie armonica dovrebbe essere
$ sum_(k=0)^infty1/k^α $ che per definizione, diverge. Ok.
Però la prof ha fatto un altro esempio che con Leibniz converge e ha fatto vedere che si poteva fare anche con la convergenza assoluta. Era questo
$ sum_(k=1)^infty (-1)^k/(√(k^3+(-1)^k)) $ che con Leibniz converge perchè sono verificate le tre condizioni; poi con la convergenza assoluta:
|ak|= $ 1/(√(k^3+(-1)^k)) $ circa uguale a $ 1/(k^(3/2)) $ che converge. Quindi per il confronto asintotico, la serie di partenza converge anche senza moduli.
Però come dici tu, se quella di prima che era una serie armonica divergeva, anche questa $ 1/(k^(3/2)) $ che dovrebbe essere una serie armonica, dovrebbe divergere...
Quello che non capisco è perchè in un caso converge e nell'altro diverge se facendogli il limite sembra che convergano tutte e due.
La serie armonica dovrebbe essere
$ sum_(k=0)^infty1/k^α $ che per definizione, diverge. Ok.
Però la prof ha fatto un altro esempio che con Leibniz converge e ha fatto vedere che si poteva fare anche con la convergenza assoluta. Era questo
$ sum_(k=1)^infty (-1)^k/(√(k^3+(-1)^k)) $ che con Leibniz converge perchè sono verificate le tre condizioni; poi con la convergenza assoluta:
|ak|= $ 1/(√(k^3+(-1)^k)) $ circa uguale a $ 1/(k^(3/2)) $ che converge. Quindi per il confronto asintotico, la serie di partenza converge anche senza moduli.
Però come dici tu, se quella di prima che era una serie armonica divergeva, anche questa $ 1/(k^(3/2)) $ che dovrebbe essere una serie armonica, dovrebbe divergere...
Quello che non capisco è perchè in un caso converge e nell'altro diverge se facendogli il limite sembra che convergano tutte e due.
Dal valore del limite non puoi affermare se una serie converge poiché $ lim_(k->infty)a_k=0 $ ( $ a_k $ termine generale della serie) è solo una condizione necessaria; in altre parole se una serie converge allora è verificata tale proprietà, ma se è verificata tale proprietà non è detto che una serie converge.
Per quanto riguarda la convergenza della serie armonica $ sum_(k=1)^infty1/(k^alpha) $ , dipende dall'esponente di $ k $ ...
Per $ alpha>1 $ converge, per $ alpha<=1 $ diverge...
Per quanto riguarda la convergenza della serie armonica $ sum_(k=1)^infty1/(k^alpha) $ , dipende dall'esponente di $ k $ ...
Per $ alpha>1 $ converge, per $ alpha<=1 $ diverge...
Ahhhhhhh ecco questa mi mancava! Ecco perchè ogni tanto sembrava che due serie identiche prima convergevano e poi divergevano!
Quindi, se non ho capito male, prima di applicare qualsiasi criterio devo vedere se $ lim_(k->infty)a_k=0 $ ; se si, allora forse converge o diverge e quindi applico il criterio che ritengo giusto, se no allora la serie sicuramente non converge, giusto?
Quindi, se non ho capito male, prima di applicare qualsiasi criterio devo vedere se $ lim_(k->infty)a_k=0 $ ; se si, allora forse converge o diverge e quindi applico il criterio che ritengo giusto, se no allora la serie sicuramente non converge, giusto?
Esatto!
Ho ancora una domanda. Ho capito quando applicare il confronto, confronto asintotico, radice, leibniz e non mi ricordo che altri abbiamo fatto.
Il criterio integrale invece, quand'è che sarebbe utile applicarlo? So come applicarlo, ma non ho capito il quando.
Il criterio integrale invece, quand'è che sarebbe utile applicarlo? So come applicarlo, ma non ho capito il quando.
A questo, purtroppo, non ti so rispondere... non ho ancora visto quel criterio...
Nessun problema. Ti ringrazio per la disponibilità!
Preferirei che non venisse chiuso questo topic così aggiungo qui eventuali (o decisamente certe) altre domande in merito.
Grazie mille!
Preferirei che non venisse chiuso questo topic così aggiungo qui eventuali (o decisamente certe) altre domande in merito.
Grazie mille!
Ho un'altra domanda.
Ogni tanto in alcuni esercizi viene applicata la convergenza assoluta e a questa viene applicato il criterio del rapporto per poi fare il limite a infinito.
Non basterebbe fare direttamente il limite a infinito sulla convergenza assoluta?
Per esempio viene fatto questo:
$ sum_(k=0)^infty(x)^k/(k!) $ (serie di potenze) --> Convergenza assoluta: $ sum_(k=0)^infty(|x|)^k/(k!) $ --> Cr. Rapporto $ (|x|^(k+1))/((k+1)!) * (k!)/(|x|^k) = |x|/(k+1) $ da qui, il limite di quello a infinito = 0 quindi converge assolutamente. Non veniva la stessa cosa se invece di applicare anche il rapporto, gli avessi fatto il limite alla conv assoluta?
Ogni tanto in alcuni esercizi viene applicata la convergenza assoluta e a questa viene applicato il criterio del rapporto per poi fare il limite a infinito.
Non basterebbe fare direttamente il limite a infinito sulla convergenza assoluta?
Per esempio viene fatto questo:
$ sum_(k=0)^infty(x)^k/(k!) $ (serie di potenze) --> Convergenza assoluta: $ sum_(k=0)^infty(|x|)^k/(k!) $ --> Cr. Rapporto $ (|x|^(k+1))/((k+1)!) * (k!)/(|x|^k) = |x|/(k+1) $ da qui, il limite di quello a infinito = 0 quindi converge assolutamente. Non veniva la stessa cosa se invece di applicare anche il rapporto, gli avessi fatto il limite alla conv assoluta?
si potevi concludere ugualmente, giustificando che $\frac{|x|^n}{n!}\to0$ di ordine superiore sicuramente ad uno, e quindi la serie converge assolutamente
$ lim_(k->infty)k_√(1+2^(k+1))= lim_(k->infty)k_√1+k√(2^(k+1)) $Ah e questo si può sempre fare o è un caso?
Ho qualche domanda su questa serie di potenza.
$ sum_(k=0)^infty(1+(-1)^k*2^(k+1))*x^k $ dove si deve dire qual è il raggio di convergenza e l'insieme di convergenza.
A occhio sembra essere a segni alterni per quel (-1)^k
La prof ci ha consigliato di dividerla studiando per i k pari e i k dispari. Lo faccio e gli applico il criterio della radice. Se non ho sbagliato (cosa molto probabile), trovo che facendo il limite dell'argomento con i k pari e i k dispari, il risultato è 1. Ma WolframAlpha mi dice che in realtà è 2 e non mi quadra...
Ciò comporta che il raggio con il criterio del rapporto è 1/l, quindi R=1/1 e l'insieme di convergenza invece E=(-1,1) se è giusto il mio limite, altrimenti se è giusto quello di WolframAlpha R dovrebbe essere 1/2 e l'insieme (-1/2,1/2)
Ho qualche domanda su questa serie di potenza.
$ sum_(k=0)^infty(1+(-1)^k*2^(k+1))*x^k $ dove si deve dire qual è il raggio di convergenza e l'insieme di convergenza.
A occhio sembra essere a segni alterni per quel (-1)^k
La prof ci ha consigliato di dividerla studiando per i k pari e i k dispari. Lo faccio e gli applico il criterio della radice. Se non ho sbagliato (cosa molto probabile), trovo che facendo il limite dell'argomento con i k pari e i k dispari, il risultato è 1. Ma WolframAlpha mi dice che in realtà è 2 e non mi quadra...
Ciò comporta che il raggio con il criterio del rapporto è 1/l, quindi R=1/1 e l'insieme di convergenza invece E=(-1,1) se è giusto il mio limite, altrimenti se è giusto quello di WolframAlpha R dovrebbe essere 1/2 e l'insieme (-1/2,1/2)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo