Ennesimo limite

[oiraD93]

Ciao
come risolvo questo limite?

[math]\frac{1-(1-7x)^{logx}(e^{2x}-1)(log(x^{3})}[/math]

per x che tende a 0^+ ?

P.S : scusate , ma non riuscivo a scriverlo in LateX
http://grabilla.com/0411b-cbf027a9-5f29-424c-b7f1-328c3e77abba.png

[ciampax]

Per scriverlo in Latex basta fare così:

[math]\lim_{x\to 0^+}\frac{1-(1-7x)^{\log x}}{(e^{2x}-1)(\log(x^3))}[/math]

[math]\lim_{x\to 0^+}\frac{1-(1-7x)^{\log x}}{(e^{2x}-1)(\log(x^3))}[/math]

Il limite è quello che ho scritto?

[oiraD93]

sìsì è proprio questo

[ciampax]

Allora, vediamo di analizzarlo pezzo per pezzo. Per il denominatore puoi osservare che

[math]e^{2x}-1\sim 2x[/math]

mentre

[math]\log (x^3)=3\log x[/math]

. In definitiva possiamo sostituire il denominatore con

[math]6x\log x[/math]

.


Per il numeratore, la faccenda è un po' più complicata: usando il fatto che

[math]a^b=e^{b\log a},\ a>0[/math]

possiamo scrivere

[math]1-(1-7x)^{\log x}=1-e^{\log x\cdot \log(1-7x)}[/math]

Ora, osserva che per l'esponente si ha

[math]\log x\cdot\log(1-7x)\sim\log x\cdot(-7x)=-7x\log x\to 0[/math]

in quanto vale il limite notevole

[math]\lim_{x\to 0^+} x^\alpha\log^\beta x=0,\ \alpha>0,\ \beta>0[/math]

. A questo punto il numeratore si può riscrivere come

[math]1-e^{-7x\log x}[/math]

e dal momento che l'esponente è infinitesimo, possiamo usare il confronto locale per scrivere

[math]1-e^{-7x\log x}\sim 1-(1-7x\log x)=7x\log x[/math]

In definitiva il limite diventa

[math]\lim_{x\to 0^+}\frac{7x\log x}{6x\log x}=\frac{7}{6}[/math]

[oiraD93]

tutto chiaro , grazie mille