Ennesimo integrale con i residui

[emitrax]

$int_0^(2pi)(cos(3x))/(5-4cosx)dx$

Da risolvere con i residui. Essendo abituato a calcolarli tra $-oo$ e $oo$ o $0$ e $oo$ non so esattamente come procedere.
Gli estremi di integrazione mi fanno pensare ad una circonferenza, ma ripeto, non so come procedere.

Ho provato con le formule di eulero, ed ho provato anche ponendo la sostituzione $z=e^(ix)$ , ma non ne vengo fuori.

Qualche consiglio sul procedimento?

Grazie.

[_nicola de rosa]

$int_0^(2pi)(cos(3x))/(5-4cosx)dx$
$cos(3x)=(e^(i*3x)+e^(-i*3x))/2,cosx=(e^(i*x)+e^(-i*x))/2$ per cui
$(cos(3x))/(5-4cosx)=(e^(i*3x)+e^(-i*3x))/(10-4e^(i*x)-4e^(-i*x))=(e^(i*6x)+1)/(10*e^(i*3x)-4*e^(i*4x)-4*e^(i*2x))$
Ora posto $z=e^(ix)$ allora $(cos(3x))/(5-4cosx)=(e^(i*6x)+1)/(10*e^(i*3x)-4*e^(i*4x)-4*e^(i*2x))=(z^6+1)/(10z^3-4z^4-4z^2)=(z^6+1)/(2z^2(5z-2z^2-2))$
=$-(z^6+1)/(2z^2(2z^2-5z+2))=-(z^6+1)/(4z^2(z-2)(z-1/2))$. Inoltre se $z=e^(ix)->dx=-i/z*dz$ quindi l'integrale diventa:
$int_0^(2pi)(cos(3x))/(5-4cosx)dx=int_{|z|=1}(z^6+1)/(4z^2(z-2)(z-1/2))*i/zdz=int_{|z|=1}i*(z^6+1)/(4z^3(z-2)(z-1/2))dz$
I poli che ricadono in $|z|=1$ sono $z=0$ ed è triplo e $z=1/2$ che è semplice per cui
$int_0^(2pi)(cos(3x))/(5-4cosx)dx=int_{|z|=1}(z^6+1)/(4z^2(z-2)(z-1/2))*i/zdz=int_{|z|=1}i*(z^6+1)/(4z^3(z-2)(z-1/2))dz$=
$2pi*i*[R(0)+R(1/2)]$
Ora $R(0)=21/16*i,R(1/2)=-65/48*i$ per cui l'integrale vale
$I=2pi*i*[21/16*i-65/48*i]=pi/12$

[emitrax]

Per niente facile. Hai fatto passaggi che difficilmente avrei pensato.

Grazie.