Ennesima serie

[bertuz1]

questa serie mi sta facendo uscire pazzo!

Scrivere la serie di Taylor con punto iniziale 0 (usando se possibile gli svilupi già noti) delle seguenti funzioni.

`f(x)=sqrt(1+e^x)`

ho pensato in primo luogo di sviluppare `sqrt(1+x)` ma non ho trovato una serie che modelli questa funzione (o perlomeno il docente e il libro non la nominano e su internet non la trovo!), suggerimenti per il procedimento?

Buon week end

[Nidhogg]

Piccola precisazione a titolo storico: La formula di Taylor con centro in $x_0$ è detta formula di MacLaurin.

Ciao, Ermanno!

[carlo232]

"bertuz"::twisted: questa serie mi sta facendo uscire pazzo!

Scrivere la serie di Taylor con punto iniziale 0 (usando se possibile gli svilupi già noti) delle seguenti funzioni.

`f(x)=sqrt(1+e^x)`

ho pensato in primo luogo di sviluppare `sqrt(1+x)` ma non ho trovato una serie che modelli questa funzione (o perlomeno il docente e il libro non la nominano e su internet non la trovo!), suggerimenti per il procedimento?

Buon week end

Io posso dirti che

$sqrt(1+x)= 1+sum_(n=1)^(n+1)((2n-1)!!)/(n!2^n) x^n$

Ciao!

[bertuz1]

Io posso dirti che

`sqrt(1+x)= 1+sum_(n=1)^(n+1)((2n-1)!!)/(n!2^n) x^n`

Ciao!

uhm, grazie mille! Mi puoi spiegare come diavolo hai fatto a trovarla? O meglio.. sono io ritardato o è abbastanza complicata da trovare?

[cavallipurosangue]

Io la conosco come uno sviluppo noto.

[carlo232]

"bertuz":

Io posso dirti che

`sqrt(1+x)= 1+sum_(n=1)^(n+1)((2n-1)!!)/(n!2^n) x^n`

Ciao!

uhm, grazie mille! Mi puoi spiegare come diavolo hai fatto a trovarla? O meglio.. sono io ritardato o è abbastanza complicata da trovare?

Se fossi ritardato non ti porresti neanche il problema ... scherzi a parte:

Maclaurin ci insegna che una funzione $f(x)$ che soddisfi certe condizioni si può sviluppare come

$f(x)=sum_(n=0)^infty f^{n}x^n/(n!)$

dove $f^{n}$ indica la derivata ennesima e per convenzione $f^{0}=f$. Ora abbiamo che $f(x)=(1+x)^(1/2)$
quindi $f'(x)=(1/2)(1+x)^(-3/2)$, si dimostra facilmente pe rinduzione che $f^{n+1}(x)=(-(2n+1)/2)f^{n}(1+x)^(-1)$.

Da cui segue il risultato.

Ciao!