Enigma con successione+serie

[Gmork]

Salve,

Non riesco a trovare una soluzione a questo problema:

Data la successione ${a_n}$ a termini positivi tale che $a_{n+1}=\frac{a_n}{\alpha+a_n}$ con $\alpha>0$ provare che è convergente.

E poi:

Dare condizioni su $a_n$ ed $\alpha$ sufficienti ad assicurare la convergenza della serie $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$

Ora, io ho provato a vedere se $a_n$ è monotona decrescente e che quindi converge al suo estremo inferiore attraverso la verifica di:

$a_{n+1}

[Gmork]

Ho seguito un'altra strada: il criterio del rapporto.

Scrivo la successione $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a_n}{\alpha+a_n}\ \frac{1}{a_n}=\frac{1}{\alpha+a_n}$

Ora, per provare che ${a_n}$ è convergente devo provare che $\frac{1}{\alpha+a_n}<1$ (*)

ma mi sorge un dubbio : Se $0<\alpha<1$ e $0

[Raptorista1]

Però se anche fosse $0

[Gmork]

Ma credo che se $0

[Raptorista1]

Indubbiamente! Però a quanto ho capito noi abbiamo che $\alpha>0 \Rightarrow a_n0$. Non basta questo?

[Gmork]

"Raptorista":Indubbiamente! Però a quanto ho capito noi abbiamo che $\alpha>0 \Rightarrow a_n

Finqui tutto chiaro. Ma come ci porta a.... ???

"Raptorista": $\Rightarrow a_{n+1}0$. Non basta questo?

[Raptorista1]

Mmm.. Temo di aver tratto una conclusione sbagliata! Hai ragione tu, mi sono accorto che quell'ultima relazione non è valida.
Come dici giustamente nel primo post, si arriva comunque alla relazione $\alpha+a_n>1$. Chiedo scusa

[Gmork]

Fa nulla, anzi grazie dell'attenzione. Aspetterò che qualcuno mi possa aiutare.

[legendre]

Non so se sia corretto.Provo a dire che affinche' la successione sia convergente ad un limite allora deve essere per $ n\to \infty a_n=l$ e lo stesso per $n\to \infty a_(n+1)=l$ quindi $l=l/(\alpha+l)$ ove $\alpha!=-l e \alpha=1-l>0$ da cui $l<1$ ed e' quindi convergente perche' il limite e' sempre minore di 1