Energia di un polinomio trigonometrico

[lordb]

Ciao a tutti,
devo risolvere questo problema (che introduce un argomento):

Sia $n in NN$, sia $p_n(t)$ un polinomio trigonometrico, calcolare l'energia di $p_n(t)$ ed esprimerla tramite i coefficienti $c_k,c_(-k)$.

Inizio:

Sia $omega_0 in RR$,siano $k,n in NN$, siano $a_0,a_1,b_1...a_n,b_n in CC$ scrivo $p_n(t)$ come:

$p_n(t):a_0+sum_(k=1)^(n)[a_k*cos(komega_0t)+b_k*sin(komega_0t)]$.

Siano $q,w in RR,q
Calcolo $||p_n(t)||_2^2=||a_0+sum_(k=1)^(n)[a_k*cos(komega_0t)+b_k*sin(komega_0t)]||_2^2$

Non vorrei scrivere delle porcate, ma $a_0$ e $sum_(k=1)^(n)[a_k*cos(komega_0t)+b_k*sin(komega_0t)]$ appartengono al sistema trigonometrico $1+cos(t)+sin(t)+....$ e quindi sfrutterei l'ortogonalità in questo modo:

$||p_n(t)||_2^2=|||a_0|+sum_(k=1)^(n)[a_k*cos(komega_0t)+b_k*sin(komega_0t)]||_2^2= |||a_0|||_2^2+||sum_(k=1)^(n)[a_k*cos(komega_0t)+b_k*sin(komega_0t)]||_2^2=$

$=tau*|a_0|^2+sum_(k=1)^(n)[|a_k|^2*||cos(komega_0t)||_2^2+|b_k|^2*||sin(komega_0t)||_2^2]=tau*|a_0|^2+pi/omega_0*sum_(k=1)^(n)[|a_k|^2+|b_k|^2*]$

Quindi si dovrebbe avere:

$||p_n(t)||_2^2=tau*|a_0|^2+tau/2*sum_(k=1)^(n)[|a_k|^2+|b_k|^2]$

Infine utilizzo le relazioni:

${(a_0=c_0),(a_(k!=0)=c_k+c_(-k)),(|b_(k!=0)|=[c_k-c_(-k)]):}->{(a_0^2=c_0^2),(a_k^2=c_k^2+c_(-k)^2+2c_kc_(-k)),(|b_k|^2=c_k^2+c_(-k)^2-2c_kc_(-k)):}$

Sostituisco:

$||p_n(t)||_2^2=tau*[|c_0|^2+sum_(k=1)^(n)[|c_k|^2+|c_(-k)|^2]]=tau*sum_(k=-n)^n|c_k|^2$

Tutto ok ?

Grazie in anticipo

[Demostene92]

Forse dirò delle castronerie allucinanti, ma io la farei decisamente più semplice.
Sia ${\Phi_n}$ è un sistema di funzioni trigonometriche ortogonali.
Essendo $p_k(t)$ esprimibile come combinazione lineare di funzioni di tale sistema, allora $p_k(t)$ soddisfa già intrinsecamente il fatto che ${\Phi_n}$ sia completo.
Ma allora vale l'identità di Parseval, cioè la condizione limite di Bessel per cui $||f||^2=\sum_{k=-n}^n|c_k|^2$.

Spero di non averla detta grossa

[lordb]

Ciao,
innanzitutto grazie per la risposta.

L'identità di Parvel non l'ho ancora fatta quindi non saprei che dire

Non ci resta che aspettare

[lordb]

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