Endomorfismi e immagini

[TheDarkM@n]

Ragazzi ho un esercizio per cui sto uscendo pazzo, ho studiato gli endomorfismi ma questo esercizio proprio non lo capisco, sin dalla richiesta del testo.
Chiedo aiuto a voi, ve lo propongo:

Sia f:R²->R² l'endomorfismo di R² tale che e . Determinare il vettore immagine di


N.B. scusate per l'allegato ma non so come si toglie

[Studente Anonimo]

Una soluzione è scrivere

[math]\binom{4}{11}[/math]

come combinazione lineare di

[math]\binom{2}{5}[/math]

e

[math]\binom{1}{2}[/math]

,
il che è teoricamente possibile in quanto

[math]\binom{2}{5}[/math]

e

[math]\binom{1}{2}[/math]

formano una base di

[math]\mathbb{R}^2[/math]

.
Quindi occorre trovare

[math]a,\,b \in \mathbb{R}[/math]

tali che

[math]a\binom{2}{5}+b\binom{1}{2}=\binom{4}{11} \; \dots[/math]

Una volta noti tali parametri, sfruttando la linearità di

[math]f[/math]

si ha

[math]f\binom{4}{11} = f\left( a\binom{2}{5}+b\binom{1}{2} \right) = a\,f\binom{2}{5}+b\,f\binom{1}{2} = \dots[/math]

Se qualcosa non torna chiedi pure. ;)

[TheDarkM@n]

non riesco ad afferrare bene il concetto (proprio a livello teorico oltre che pratico) del perché avendo

[math]\mathit{f}(\binom{2}{5})=\binom{1}{1}[/math]

e

[math]\mathit{f}(\binom{1}{2})=\binom{2}{2}[/math]

come soluzione basta mettere

[math]\binom{2}{5}[/math]

e

[math]\binom{1}{2}[/math]

a sistema con

[math]\binom{4}{11}[/math]

in un certo senso trascurando

[math]\binom{1}{1}[/math]

e

[math]\binom{2}{2}[/math]

In oltre, se non erro, (mi porto avanti col lavoro nel caso avessi capito bene per lo meno la parte pratica da fare) ottengo il seguente risultato:
come suggeritomi dovrei risolvere il sistema

[math]\left\{\begin{matrix}
2a&+&b&=&4 \\
5a&+&2b&=&11
\end{matrix}\right.[/math]

che portato in forma matriciale è

[math]\begin{pmatrix}
2 & 1 & 4\\
5 & 2 & 11
\end{pmatrix}[/math]

con gauss mi trovo b facendo

[math]2R_{2}-5R_{1}[/math]

[math]\begin{pmatrix}
2 & 1 & 4\\
0 & -1 & 2
\end{pmatrix}[/math]

quindi

[math]\left\{\begin{matrix}
2a&+&b&=&4\\
&&-b&=&2
\end{matrix}\right.[/math]

[math]\left\{\begin{matrix}
2a&=&6&;&a=3\\
b&=&-2&;&b=-2
\end{matrix}\right.[/math]

Da qui come dovrei continuare?

come tu mi suggerisci dovrei fare

[math]f\binom{4}{11}=f(3\binom{2}{5}-2\binom{1}{2})[/math]

che effettivamente è

[math]f\binom{4}{11}=f\binom{4}{11}[/math]

quindi la mia soluzione sarebbe

[math]f\binom{4}{11}=f(3\binom{2}{5}-2\binom{1}{2})=3f\binom{2}{5}-2f\binom{1}{2}[/math]

?

[Studente Anonimo]

Quello che hai scritto è corretto ... ma a questo punto dovresti essere anche in grado di concludere l'esercizio, in quanto il testo dice espressamente che

[math]f\binom{2}{5} = \binom{1}{1}[/math]

mentre

[math]f\binom{1}{2} = \binom{2}{2}[/math]

; dunque quel conto a cosa potrà mai portare? :)

[TheDarkM@n]

sostituendo:

[math]f\begin{pmatrix}4\\11\end{pmatrix}=3 \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}2\\2\end
{pmatrix}[/math]

[math]f\begin{pmatrix} 4\\11\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1\\-1\end{pmatrix}[/math]

grazie mille :)

[Studente Anonimo]

Prego. ;)