E^n aiuto!!

[rico]

ciao!
non ho capito la dimostrazione della successione $(1+1/n)^n=e$
in particolare i seguenti passaggi:
$e_n<=sum_(k=0) ^n*1/(k!)<=1+sum_(k=1) ^n*(1/2)^(k-1)$
poiche $k!=1*2*3*...*k>=2^(k-1)$ per k>=1; applicando quindi la nostra formula sulla somma delle progressioni geometriche risulta:
$e_n<=1+(1-(1/2)^n)/(1-(1/2))<1+1/(1-(1/2))=3$.
non capisco da dove salta fuori $1+sum_(k=1) ^n*(1/2)^(k-1)$.Inoltre non capisco l approssimazione che si puo fare al numero di nepero e precisamente:
"Per verificare quanti decimali nell'ultima approssimazione siano esatti, occorre confrontare la cifra con un opportuno maggiorante delle insieme $(e_n)$(non so come si fanno le graffe). Osserviamo che per $j $e_n<=sum_(k=0) ^n*1/(k!)=sum_(k=0) ^j(1/(k!))+1/((j+1)!)sum_(k=j+1) ^n ((j+1)!)/(k!)$
posto per comodita $s=n-j$ risulta
$sum_(k=j+1) ^(j+s) ((j+1)!)/(k!)=1+1/(j+2)+1/((j+2)(j+3))+...+1/((j+1)....(j+s))<=1+1/(j+2)+1/(j+2)^2+....+1/(j+2)^(s-1)=(1-1/(j+2)^s)/(1-1/(j+2))<1/(1-1/(j+2))=(j+2)/(j+1)$ "
di quest ultima faccenda non ho capito bene la prima disequazione che ho scritto, in particolare l uguaglianza di 1 su k fattoriale a tutta quella pappardella che c e dopo (sommatoria da k=0 a j ec...).
Sapete dirmi qualcosa??

[Principe2]

sono tutte semplici maggiorazioni.... ragionaci un attimo! pensa che se a1/b e tutto torna

[rico]

grazie per la risp., ma
"Per verificare quanti decimali nell ultima approssimazione siano esatti, occorre confrontare la cifra con un opportuno maggiorante delle insieme $(e_n)$(non so come si fanno le graffe). Osserviamo che per $j $e_n<=sum_(k=0) ^n*1/(k!)=sum_(k=0) ^j(1/(k!))+1/((j+1)!)sum_(k=j+1) ^n ((j+1)!)/(k!)$"
in questa diseq. non capisco come mai compaiono $1/((j+1)!)sum_(k=j+1) ^n ((j+1)!)/(k!)$. Non capisco come si ottengono...