$\emptyset$ induttivo???
Ciao ragazzi!
Se dico che $E\subseteq RR$ è induttivo ssse $(x\in E)\implies (x+1\in E)$, come cacchio faccio a concludere, da questa definizione, che $\emptyset$ è induttivo?
Questa cosa è stata detta (e ribadita) da uno dei miei prof. di Analisi I, quindi ci ho pensato una decina di volte prima di cominciare a pensare che fosse una cazzata
aiuto
EDIT: io ho pensato questo: in base alla definizione, $E$ è induttivo ssse
\[(x+1\notin E)\implies (x\notin E)\tag{D}\]
E' vero che $\emptyset$ non ha elementi, ma ciò non si traduce mica nella $(\text{D})$
Se dico che $E\subseteq RR$ è induttivo ssse $(x\in E)\implies (x+1\in E)$, come cacchio faccio a concludere, da questa definizione, che $\emptyset$ è induttivo?
Questa cosa è stata detta (e ribadita) da uno dei miei prof. di Analisi I, quindi ci ho pensato una decina di volte prima di cominciare a pensare che fosse una cazzata
aiuto EDIT: io ho pensato questo: in base alla definizione, $E$ è induttivo ssse
\[(x+1\notin E)\implies (x\notin E)\tag{D}\]
E' vero che $\emptyset$ non ha elementi, ma ciò non si traduce mica nella $(\text{D})$
Risposte
Intanto \(\emptyset \subseteq \mathbb{R}\), per cui ha senso chiedersi se è induttivo.
E' tutta una questione di logica. Devi verificare una implicazione, e siccome l'antecedente è sempre falso l'implicazione è sempre vera.
E' tutta una questione di logica. Devi verificare una implicazione, e siccome l'antecedente è sempre falso l'implicazione è sempre vera.
"Gi8":
Intanto \(\emptyset \subseteq \mathbb{R}\), per cui ha senso chiedersi se è induttivo.
Qua no problem....
E' tutta una questione di logica. Devi verificare una implicazione, e siccome l'antecedente è sempre falso l'implicazione è sempre vera.
Potresti spiegarti meglio, per favore? Io l'implicazione non ce la vedo...
Questa è l'implicazione: $(x\in E)\implies (x+1\in E)$.
Dobbiamo dimostrare che $AA x in RR$ si ha $(x in O/) => (x+1 in O/)$.
Siccome l'antecedente (cioè $x in O/$) è sempre falso, tutta l'implicazione è sempre vera.
Insomma, ricorderai senz'altro che se $A$ è falso allora $A=> B$ è vero.
Dobbiamo dimostrare che $AA x in RR$ si ha $(x in O/) => (x+1 in O/)$.
Siccome l'antecedente (cioè $x in O/$) è sempre falso, tutta l'implicazione è sempre vera.
Insomma, ricorderai senz'altro che se $A$ è falso allora $A=> B$ è vero.
"Gi8":
Insomma, ricorderai senz'altro che se $A$ è falso allora $A=> B$ è vero.
...a prescindere dal fatto che $B$ sia vero o falso??
Comunque no, purtroppo...non mi è mai capitato di leggerlo. Quel poco che so di Logica l'ho letto sui miei vecchi libri di Analisi che utilizzavo ad Ingegneria, quindi...
Sì, a prescindere da $B$.
Ti faccio un esempio.
"in questo istante tutte le persone (vive) che hanno più di duecento anni hanno i capelli viola."
Questa frase è vera.
Ed è vera anche la seguente:
"in questo istante tutte le persone (vive) che hanno più di duecento anni non hanno i capelli viola."
Perchè? Perchè non ci sono persone vive che hanno più di duecento anni.
Ti faccio un esempio.
"in questo istante tutte le persone (vive) che hanno più di duecento anni hanno i capelli viola."
Questa frase è vera.
Ed è vera anche la seguente:
"in questo istante tutte le persone (vive) che hanno più di duecento anni non hanno i capelli viola."
Perchè? Perchè non ci sono persone vive che hanno più di duecento anni.
Personalmente, non direi che \(\varnothing\) è induttivo perchè, per me, un insieme induttivo è per definizione non vuoto.
Ovviamente, poi c'è anche un'altra questione che mi porta a questa conclusione: infatti, si vede che ogni insieme induttivo contiene (un insieme isomorfo a) \(\mathbb{N}\), cosicché quello dei numeri naturali è di norma definito come "il più piccolo insieme induttivo"; ora, se \(\varnothing\) fosse induttivo, è chiaro che la precedente non avrebbe alcun senso.
Tuttavia, mi rendo anche conto che questo esercizio è pensato soprattutto per far prendere confidenza con una delle leggi più controintuitive della Logica, cioè quella comunemente detta ex falso quodlibet... Quindi queste questioni fondazionali possono, per un momento, passare in secondo piano.
Ovviamente, poi c'è anche un'altra questione che mi porta a questa conclusione: infatti, si vede che ogni insieme induttivo contiene (un insieme isomorfo a) \(\mathbb{N}\), cosicché quello dei numeri naturali è di norma definito come "il più piccolo insieme induttivo"; ora, se \(\varnothing\) fosse induttivo, è chiaro che la precedente non avrebbe alcun senso.
Tuttavia, mi rendo anche conto che questo esercizio è pensato soprattutto per far prendere confidenza con una delle leggi più controintuitive della Logica, cioè quella comunemente detta ex falso quodlibet... Quindi queste questioni fondazionali possono, per un momento, passare in secondo piano.
@gugo82: sono completamente d'accordo con tutto quello che hai detto.
@ Plepp (in aggiunta a quando detto da Gi8): ciao! Per convincerti che ex falso quodlibet puoi scrivere la tavola di verità dell'implicazione logica (ricordando la definizione di implicazione, che ricordo è definita solo a partire da $vee$ e dalla negazione).
"Gi8":
Sì, a prescindere da $B$.
Ti faccio un esempio.
"in questo istante tutte le persone (vive) che hanno più di duecento anni hanno i capelli viola."
Questa frase è vera.
Ed è vera anche la seguente:
"in questo istante tutte le persone (vive) che hanno più di duecento anni non hanno i capelli viola."
Perchè? Perchè non ci sono persone vive che hanno più di duecento anni.
oddio...leggendo la definizione della proposizione $R : =(P\implies Q)$ ci siamo ($R$ è vera, tranne quando $P$ è vera e $Q$ è falsa). Ma c'è davvero poco di "logico" qua (o, quantomeno, io non riesco a trovare un senso a tutto questo 
).Cerchiamo di costruire un esempio più semplice. Prendiamo $x$ numero reale e poniamo
\[P:=\ "x>1"\qquad Q:=\ "x>0"\]
In base alla definizione di $R$, avremo che $R$ è vera nei seguenti casi:
• $P$ è vera e $Q$ è vera (vabbuò...);
• $P$ è falsa (quindi se è vera $\not P =$"$x\le 1$") e $Q$ è vera. Ciò vuol dire (a quanto mi pare di capire), che è vero questo fatto: se è vero che $x\le 1$ ed è vero che $x>0$, allora è vero che $(x> 1\implies x>0)$
• $P$ è falsa e $Q$ è falsa (cioè $x\le0$). Qui capisco che: se è vero che $x\le 1$ ed è vero che $x\le 0$, allora è vero che $(x> 1\implies x>0)$...
$^2$Questo è quel che riesco a dedurre, ma temo di non aver capito un tubo...
Pensala così: l'asserzione per l'insieme può essere o vera o falsa. Riesci a trovare elementi nell'insieme vuoto per cui risulti falsa? No (perché non ce ne sono). Non potendo portare controesempi per dimostrarne la falsità, allora deve essere per forza vera. Così almeno è come ce la spiegò l'insegnante di Logica...
Per approfondire: http://en.wikipedia.org/wiki/Vacuously_true
Per approfondire: http://en.wikipedia.org/wiki/Vacuously_true
"gugo82":
prendere confidenza con una delle leggi più controintuitive della Logica, cioè quella comunemente detta ex falso quodlibet...
sarà controintuitiva ma credo sia molto importante anche al di fuori degli ambiti consueti della matematica, provate a riflettere su questa:
"Se ci fossi io (gio73 / grillo / renzi ...) al governo le cose sì che andrebbero meglio"
Ok, ti ringrazio. Il problema ora è che non riesco a trovare un senso nella definizione della proposizione $P\implies Q$.
Leggendo qui:
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali ... istica.pdf
pag. 4, capisco quanto segue. Pongo $P : =$"$ \text{i maiali volano}$": allora $P\implies Q$ è vera qualunque sia $Q$ (quindi, ciliegina sulla torta, anche se $Q=\not P$)...
Leggendo qui:
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali ... istica.pdf
pag. 4, capisco quanto segue. Pongo $P : =$"$ \text{i maiali volano}$": allora $P\implies Q$ è vera qualunque sia $Q$ (quindi, ciliegina sulla torta, anche se $Q=\not P$)...
"Gi8":
Sì, a prescindere da $B$.
Ti faccio un esempio.
"in questo istante tutte le persone (vive) che hanno più di duecento anni hanno i capelli viola."
Questa frase è vera.
Ed è vera anche la seguente:
"in questo istante tutte le persone (vive) che hanno più di duecento anni non hanno i capelli viola."
Perchè? Perchè non ci sono persone vive che hanno più di duecento anni.
Insomma, quello che a me verrebbe da dire non conoscendo la definizione di $P\implies Q$ e andando ad intuito, è che queste due proposizioni sono false...perchè il fatto che una persona $x$ possa avere più di 200 anni non vuol dire che $x$ debba avere i capelli viola...
Sicuramente è il mio modo di ragionare che non va, ma non capisco in che senso....
$p => q$ è un modo abbreviato per dire $(\not p) \vee q$ (che è la definizione di implicazione).
Provare per credere.
Provare per credere.
"Paolo90":
$p => q$ è un modo abbreviato per dire $(\not p) \vee q$ (che è la definizione di implicazione).
Provare per credere.
Ciao Paolo
questo è abbastanza semplice da verificare tramite la definizione (o le tavole di verità): non è questo il problema. Il mio problema è che trovo davvero poco intuitiva (anzi, controintuitiva) la definizione di $p\implies q$, al contrario di quella di $p\vee q$ oppure $p\wedge q$ ecc. Insomma, sto cercando qualcosa che "legittimi" la definizione di $r : =(p\implies q)$, in base alla quale $r$ risulta vera purché non sia vera $p$ e falsa $q$.
Quello che ti ho scritto per me non è un teorema o una proposizione, cioè non si deve "verificare" o dimostrare con le tavole di verità. Quella è per me la definizione di implicazione logica. Ribadisco quanto scritto sopra: la freccia $p=>q$ è per me un simbolo abbreviato per dire $not p \vee q$. Capisci ciò che voglio dire? Altrimenti mi e ti chiedo: come è definita per te l'implicazione?
Dalla stessa definizione che ti ho scritto è evidentissimo che se $p$ è falsa, allora necessariamente $p=>q$ è sempre vera (perché $not p$ è vera), qualunque sia $q$. Ed è anche ovvio scrivere chi è $\not(p=>q)$ (hai mai negato un'implicazione, magari mentre dimostravi un teorema per assurdo?).
Spero ora sia più chiaro. Ciao!
Dalla stessa definizione che ti ho scritto è evidentissimo che se $p$ è falsa, allora necessariamente $p=>q$ è sempre vera (perché $not p$ è vera), qualunque sia $q$. Ed è anche ovvio scrivere chi è $\not(p=>q)$ (hai mai negato un'implicazione, magari mentre dimostravi un teorema per assurdo?).
Spero ora sia più chiaro. Ciao!
Forse non mi sono spiegato...certamente, so che stiamo parlando di una definizione, che va presa e accettata così com'è. Però, al contrario di altre definizioni (come $p\vee q$ oppure $p\wedge q$) che altro non sono che la formalizzazione di un modo di ragionare che utilizziamo tutti i giorni (non per niente sono le "basi" di una disciplina detta Logica e non Giovanni ), la definizione di $p\implies q$ non è altrettanto intuitiva.
Insomma, detto terra terra, per me, da una proposizione falsa non segue un tubo, non qualsiasi cosa! Non è intuitivo il principio comunemente detto ex falso quodlibet sequitur. E dal momento che non lo è neanche per nessuna delle persone a cui ne ho parlato (colleghi e non), comincio a pensare che, effettivamente, di intuitivo ci sia poco.
Un'altra cosa che mi porta a pensare che questa definizione sia comunque frutto di un ragionamento è quanto vedo scritto qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Vacuously_true
Purtroppo non capisco parecchio l'inglese "tecnico", per cui ho rinunciato a leggere per bene la pagina. Tuttavia, non vorrei dire una fesseria, ma mi pare che la tavola di verità venga definita "in maniera naturale" solo nei primi due casi (primo: $p$ vera, $q$ vera, $p\implies q$ vera, secondo: $p$ vera, $q$ falsa, $p\implies q$ falsa).
Grazie per l'attenzione
), la definizione di $p\implies q$ non è altrettanto intuitiva.Insomma, detto terra terra, per me, da una proposizione falsa non segue un tubo, non qualsiasi cosa! Non è intuitivo il principio comunemente detto ex falso quodlibet sequitur. E dal momento che non lo è neanche per nessuna delle persone a cui ne ho parlato (colleghi e non), comincio a pensare che, effettivamente, di intuitivo ci sia poco.
Un'altra cosa che mi porta a pensare che questa definizione sia comunque frutto di un ragionamento è quanto vedo scritto qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Vacuously_true
Purtroppo non capisco parecchio l'inglese "tecnico", per cui ho rinunciato a leggere per bene la pagina. Tuttavia, non vorrei dire una fesseria, ma mi pare che la tavola di verità venga definita "in maniera naturale" solo nei primi due casi (primo: $p$ vera, $q$ vera, $p\implies q$ vera, secondo: $p$ vera, $q$ falsa, $p\implies q$ falsa).
Grazie per l'attenzione
@Giò.
Fantastico e davvero illuminante,il tuo intervento:
d'altronde non è la prima volta che mostri in pubblico che gran Prof. sei!
Ma preferisco completarlo per togliermi il dubbio che sia impelagato in una "classica" problematica da cui,
se non la si risolve "tecnicamente",
potrebbe non uscire "solo" con un esempio,per quanto eccezionale,di linguaggio quotidiano e suo significato:
resta il fatto che,se mi permetti,
me la "venderò" la prossima volta che userò la scusa dei programmini in Excel per introdurre operazioni e connettivi logici..
@Plepp
Ciao,Giuseppe!
Vediamo se riesco a risolvere la tua perplessità con un "tecnicismo" che,mi par di ricordare,
fù quello che a suo tempo partorii io,dopo lunga e difficile gestazione,
per convincermi che l'approccio formale introdotto da Paolo(allora aveva le sembianze del mio Prof. di Algebra..)
rispondesse in pieno alle domande,simili alle tue,che mi ponevo:
nel farlo ricordiamo intanto,un attimo,
che per definizione una relazione binaria $R$ su un insieme $A ne emptyset$ è antisimmetrica allora e solo quando
non è possibile individuare una coppia d'elementi distinti di A che siano ognuno in relazione con l'altro.
Verrebbe da pensare come un modo di definire equivalentemente quel concetto è che una relazione su un dato insieme è antisimmetrica se e solo se,
comunque si fissino $x,y inA$,è vera la seguente implicazione (1) $xRy,yRxrArrx=y$ :
ed in effetti c'è equivalenza logica tra le due definizioni perchè,entrambe,sono equivalenti a quella "più formale",
ovvero quella secondo la quale una relazione binaria $R$ su $A$ è antisimmetrica allora e solo quando $R nn R^(-1)subeDelta_A$
(ove con $Delta_A=bigcup_(a inA){(a,a)}(subeA..)$ s'intende,diciamolo esplicitamente,la cosidetta "diagonale" di A,
mentre con $R^(-1)$ la "relazione inversa" di $R$ e cioè,per definizione,la $R^(-1)={(b,a) in A times A" t.c. " (a,b) in R}$)..
Bene:
allora mi chiedo se,posto $A={1,2,3}$,
le relazioni su A $R_1={(1,2),(1,3)},R_2={(1,1),(1,2),(3,1)}$ siano entrambe antisimmetriche su esso,
sapendo già che se la risposta è affermativa lo deve essere con entrambe le scelte definitorie equivalenti testè citate..
Che siano antisimmetriche entrambe,con la "massima" formalità,
ce l'assicura il fatto che $R_1 nn R_1^(-1)=emptyset sube Delta_A,R_2 nn R_2^(-1)={(1,1)}sube Delta_A$;
ma mentre non ho difficoltà per la $R_2$ ad accettare la bontà di entrambe le definizioni date,
ne ho per la $R_1$ ad accettare l'esaustività della seconda,poichè l'ipotesi della (1) è sempre falsa
(non si riescon infatti a trovare coppie d'elementi di $A$ costituite da suoi elementi contemporaneamente in relazione l'uno con l'altro..):
almeno da non accettare che un'implicazione
(al tempo giusto,credo a breve,farai seguire tale sostantivo da un aggettivo che renderà meglio l'idea..)
è vera quando la sua ipotesi è falsa,
che nè più nè meno è conseguenza della definizione di tal concetto data da Paolo
(ma non la completa,e per farlo devi aggiungere la traduzione in termini di tavola di verità della "tradizionale" interpretazione del concetto d'implicazione..)!
Spero d'esserti stato utile:
saluti dal web.
Fantastico e davvero illuminante,il tuo intervento:
d'altronde non è la prima volta che mostri in pubblico che gran Prof. sei!
Ma preferisco completarlo per togliermi il dubbio che sia impelagato in una "classica" problematica da cui,
se non la si risolve "tecnicamente",
potrebbe non uscire "solo" con un esempio,per quanto eccezionale,di linguaggio quotidiano e suo significato:
resta il fatto che,se mi permetti,
me la "venderò" la prossima volta che userò la scusa dei programmini in Excel per introdurre operazioni e connettivi logici..
@Plepp
Ciao,Giuseppe!
Vediamo se riesco a risolvere la tua perplessità con un "tecnicismo" che,mi par di ricordare,
fù quello che a suo tempo partorii io,dopo lunga e difficile gestazione,
per convincermi che l'approccio formale introdotto da Paolo(allora aveva le sembianze del mio Prof. di Algebra..)
rispondesse in pieno alle domande,simili alle tue,che mi ponevo:
nel farlo ricordiamo intanto,un attimo,
che per definizione una relazione binaria $R$ su un insieme $A ne emptyset$ è antisimmetrica allora e solo quando
non è possibile individuare una coppia d'elementi distinti di A che siano ognuno in relazione con l'altro.
Verrebbe da pensare come un modo di definire equivalentemente quel concetto è che una relazione su un dato insieme è antisimmetrica se e solo se,
comunque si fissino $x,y inA$,è vera la seguente implicazione (1) $xRy,yRxrArrx=y$ :
ed in effetti c'è equivalenza logica tra le due definizioni perchè,entrambe,sono equivalenti a quella "più formale",
ovvero quella secondo la quale una relazione binaria $R$ su $A$ è antisimmetrica allora e solo quando $R nn R^(-1)subeDelta_A$
(ove con $Delta_A=bigcup_(a inA){(a,a)}(subeA..)$ s'intende,diciamolo esplicitamente,la cosidetta "diagonale" di A,
mentre con $R^(-1)$ la "relazione inversa" di $R$ e cioè,per definizione,la $R^(-1)={(b,a) in A times A" t.c. " (a,b) in R}$)..
Bene:
allora mi chiedo se,posto $A={1,2,3}$,
le relazioni su A $R_1={(1,2),(1,3)},R_2={(1,1),(1,2),(3,1)}$ siano entrambe antisimmetriche su esso,
sapendo già che se la risposta è affermativa lo deve essere con entrambe le scelte definitorie equivalenti testè citate..
Che siano antisimmetriche entrambe,con la "massima" formalità,
ce l'assicura il fatto che $R_1 nn R_1^(-1)=emptyset sube Delta_A,R_2 nn R_2^(-1)={(1,1)}sube Delta_A$;
ma mentre non ho difficoltà per la $R_2$ ad accettare la bontà di entrambe le definizioni date,
ne ho per la $R_1$ ad accettare l'esaustività della seconda,poichè l'ipotesi della (1) è sempre falsa
(non si riescon infatti a trovare coppie d'elementi di $A$ costituite da suoi elementi contemporaneamente in relazione l'uno con l'altro..):
almeno da non accettare che un'implicazione
(al tempo giusto,credo a breve,farai seguire tale sostantivo da un aggettivo che renderà meglio l'idea..)
è vera quando la sua ipotesi è falsa,
che nè più nè meno è conseguenza della definizione di tal concetto data da Paolo
(ma non la completa,e per farlo devi aggiungere la traduzione in termini di tavola di verità della "tradizionale" interpretazione del concetto d'implicazione..)!
Spero d'esserti stato utile:
saluti dal web.
Ciao Theras!
certo che mi sei stato utile con esempi del genere, come questo e come quello che è (era ) l'oggetto di questo thread, il concetto si fa meno oscuro, ma proprio perché si tratta di esempi ancora non riesco a cogliere appieno la generalità del discorso.. Ti ringrazio
certo che mi sei stato utile
con esempi del genere, come questo e come quello che è (era ) l'oggetto di questo thread, il concetto si fa meno oscuro, ma proprio perché si tratta di esempi ancora non riesco a cogliere appieno la generalità del discorso.. Ti ringrazio
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