Ellisse
Sia
$γ(θ)=((rcos(θ)),(rsen(θ)), (rsen(θ)+rcos(θ)))$ $,θin[0,2pi]$
Dimostrare che è un ellisse.
Ho verificato che è chiusa in quanto periodica di periodo $2pi$, che è piana dato che giace sul piano $π:x+y-z=0$ (si vede a occhio). Però per applicare la definizione dell'ellisse avrei bisogno dei fuochi. Come faccio a trovarli?
Concettualmente mi sembra di capire che è la proiezione della circonferenza $γ_1(θ)=((rcos(θ)), (rsen(θ)),(0))$ sul piano $π$ però non mi viene in mente come determinare i fuochi.
$γ(θ)=((rcos(θ)),(rsen(θ)), (rsen(θ)+rcos(θ)))$ $,θin[0,2pi]$
Dimostrare che è un ellisse.
Ho verificato che è chiusa in quanto periodica di periodo $2pi$, che è piana dato che giace sul piano $π:x+y-z=0$ (si vede a occhio). Però per applicare la definizione dell'ellisse avrei bisogno dei fuochi. Come faccio a trovarli?
Concettualmente mi sembra di capire che è la proiezione della circonferenza $γ_1(θ)=((rcos(θ)), (rsen(θ)),(0))$ sul piano $π$ però non mi viene in mente come determinare i fuochi.
Risposte
Grazie Il punto successivo dell'esercizio chiederebbe, in effetti, di trovare i punti di massima e di minima curvatura.
Mi risultano essere di massima curvatura $t=pi/4$ e $t=5/4pi$. La minima curvatura in $t=3/4 pi$ e $7/4pi$. Dato confermato dalla soluzione dell'esercizio. Questi mi risultano anche essere i vertici (anche se l'esercizio non chiedeva i vertici in quanto tali ma solo di trovare i punti di max/min curvatura). Il centro sarà il punto medio tra due vertici, evidentemente. Ho capito che bastava notare l'intersezione tra cilindro e piano come hai fatto tu per dimostrare che si è in presenza di un ellisse, senza pensare ai fuochi. E i due fuochi come si possono trovare?
Mi risultano essere di massima curvatura $t=pi/4$ e $t=5/4pi$. La minima curvatura in $t=3/4 pi$ e $7/4pi$. Dato confermato dalla soluzione dell'esercizio. Questi mi risultano anche essere i vertici (anche se l'esercizio non chiedeva i vertici in quanto tali ma solo di trovare i punti di max/min curvatura). Il centro sarà il punto medio tra due vertici, evidentemente. Ho capito che bastava notare l'intersezione tra cilindro e piano come hai fatto tu per dimostrare che si è in presenza di un ellisse, senza pensare ai fuochi. E i due fuochi come si possono trovare?
- [/list:u:iqbtll15]Ho trovato la retta r, con equazioni parametriche:
$\{(x=R/sqrt(2)-t/sqrt(6)),(y=R/sqrt(2)-t/sqrt(6)),(z=sqrt(2)*R-sqrt(2/3)*t):}$
per $t=sqrt(3)*R$ mi dà il centro dell'ellisse.
La direzione l'ho presa dal versore normale della terna in $pi/4$ ed il punto è uno dei vertici che sono:
$γ(π/4)= (R/sqrt(2),R/sqrt(2),sqrt(2)*R)$
$γ(5π/4)=-γ(π/4)$
$γ(3π/4)=(-R/sqrt(2), R/sqrt(2),0)$
$γ(7π/4)=-γ(3π/4)$
Il centro dell'ellisse è $(0,0,0)$
Mettendo a sistema l'appartenenza alla retta e la distanza dal centro pari a $sqrt(a^2-b^2)=sqrt(2)*R$
escono i due fuochi corrispondenti ai due punti della retta per $t=(sqrt(3)+-sqrt(2))*R$
Da cui $F_1=(-R/sqrt(3), -R/sqrt(3), -2R/sqrt(3))$
$F_2=-F_1$
Avrei ancora una domanda:
I centri di curvatura in $pi/4$ e $5/4 pi$ (nei vertici) non coincidono con i fuochi dell'ellisse?
"TeM":
per $sqrt(a^2-b^2)/a$
Non so perché mi era passato per la testa che i centri di curvatura nei vertici dovevano coincidere con i fuochi, ma infatti non mi tornava questa mia idea facendo i calcoli.
Sei stato chiarissimo. Ciao
"TeM":
'eccentricità
Ecco come si chiama $sqrt(a^2-b^2)/a$.
"TeM":
buon 2019!
Altrettanto!
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