Elevamento a potenza di un numero complesso

[gasx95]

Ciao a tutti !

Avrei bisogno di un aiuto per questo calcolo:

Z=(1+i), devo calcolare (1+i)^20

Da quel che ho capito dovrei prima trasformare il numero complesso nella forma esponenziale z=r*e^(i*arg(z)).
A me viene r=sqrt(2) e arg(1+i)=pi greco/4

Solo che poi facendo i calcoli non sono sicura del risultato e la calcolatrice non riesce ad elevare alla 20 :(

Grazie in anticipo :)

[Guido.Madonna]

Ciao potresti postare meglio la domanda??
devi eseguire il calcolo (1+i)^20....dove esce fuori quello che hai calcolato??

[davi02]

Osserva che

[math](1 + i)^2 = 1 + i^2 + 2i = 2i[/math]

quindi

[math](1 + i)^4 = (2i)^2 = -4[/math]

quindi

[math](1 + i)^{20} = (-4)^5 = -1024[/math]

[ciampax]

Faccio un'osservazione: per quanto il metodo di davi02 sia corretto, qui sarebbe meglio usare (come applicazione) la formula di DeMoivre per le potenze intere di numeri complessi. Se il numero complesso

[math]z=x+iy[/math]

si può esprimere in forma trigonometrica come

[math]z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)[/math]

essendo

[math]\rho=\sqrt{x^2+y^2}[/math]

e

[math]\cos\theta=x/\rho,\qquad \sin\theta=y/\rho[/math]

allora abbiamo

[math]z^n=\rho^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)),\qquad n\in\mathbb{N}[/math]

Come applicarla in questo caso? Osserviamo che essendo

[math]z=1+i[/math]

segue

[math]\rho=\sqrt{2}[/math]

. Inoltre

[math]\cos\theta=1/\sqrt{2},\ \sin\theta=1/\sqrt{2}[/math]

e pertanto deve essere

[math]\theta=\pi/4[/math]

. Abbiamo allora

[math]z=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)[/math]

e quindi

[math]z^{20}=\sqrt{2}^{20}\left(\cos\frac{20\pi}{4}+i\sin\frac{20\pi}{4}\right)=2^{10}\cdot(\cos(5\pi)+i\sin(5\pi))=-1024[/math]

[gasx95]

Grazie mille a tutti :)
Un ultima domanda: ma quindi io posso fare i calcoli con i numeri complessi in qualsiasi forma (anche se ovviamente in questo caso è più comoda la formula di DeMoivre perché sarebbe un po' complicato elevare un binomio alla 20), ma TEORICAMENTE posso ?

[ciampax]

Mettiamola così: in genere un esercizio va svolto seguendo una certa "regola". Ovvio che, se ragionandoci su, trovi delle "scorciatoie" (lo so, il termine è infelice, ma in soldoni è quello che si fa) per semplificare il tutto, la cosa va bene.

Ho voluto sottolineare come procedere secondo il metodo "canonico" non perché l'idea di davi02 fosse errata, anzi: ci tenevo solamente a mostrare come fare ad applicare la formula di de Moivre che, in altri casi, risulta la cosa migliore, piuttosto che mettersi a fare una montagna di calcoli.

[gasx95]

Chiarissimo, grazie ancora :)