Elemento separatore di un insieme
Buonasera a tutti. A lezione abbiamo fatto quest'esempio che proprio non mi entra in testa. Si vuole far vedere che se prendo due insiemi $A$ e $B$ così fatti: $A = {a in QQ : a<=0} uu {a in QQ : a>0, a^2<2}$ e $B = {b in QQ : b^2>2}$ non esiste l'elemento separatore $c$ in $QQ$. Si ragiona per assurdo. Se $c in A$ anche $c+1/n in A$ per $n$ opportuno. Questa cosa non l'ho capita: se $c$ è l'elemento separatore di due insiemi come fai a dire che $c+1/n > c$ sta in $A$? A me sembra che per forza di cose debba stare in $B$. Continuo la dimostrazione data a lezione.
$(c+1/n)^2 = c^2+1/n^2 + (2c)/n < c^2 + (1+2c)/n < 2$ e qui dovrebbe scattare un assurdo che non ho colto.
Potreste spiegarmi più chiaramente questa dimostrazione?
$(c+1/n)^2 = c^2+1/n^2 + (2c)/n < c^2 + (1+2c)/n < 2$ e qui dovrebbe scattare un assurdo che non ho colto.
Potreste spiegarmi più chiaramente questa dimostrazione?
Risposte
Immagino che la lezione verteva sul dimostrare che l' assioma di completezza non vale per $Q$?
Abbiamo anche discusso di altre proprietà sull'estremo superiore e inferiore, negli ultimi 5 minuti abbiamo fatto questo esempio che trovo abbastanza incomprensibile, anche se forse ho capito come interpretarlo: se $c in A$, anche $c+1/n in A$ (questa non è una cosa del tipo $c in A => c + 1/n in A$ ma è qualcosa che viene motivata dopo, sviluppando il quadrato e facendo vedere che, in effetti, $c^2 + (1+2c)/n < 2$ per alcuni $n$. Poi il prof ha scritto che in particolare questo è vero per $n>(2c+1)/(2-c^2)$ ma questo non so dove lo abbia tirato fuori.
In effetti per $n=(2c+1)/(2-c^2)$ l'espressione $c^2+ (1+2c)/n$ viene proprio $2$, quindi quella disequazione è soddisfatta per $n> (2c+1)/(2-c^2)$. Il fatto che l'elemento separatore e un numero più grande stiano entrambi in $A$ è assurdo e questo dovrebbe dimostrare la prima parte dell'enunciato.
La seconda si dimostra supponendo che se $c in B$ allora anche $(c-1/n) in B$ e questo ancora una volta è assurdo. Questa la farò per esercizio comunque.
Infine, poiché si è dimostrato che $sqrt(2)$ non sta in $QQ$, $A uu B = QQ$ e quindi si dimostra che l'elemento separatore non sta in $QQ$. Adesso ho le idee decisamente più chiare.
La seconda si dimostra supponendo che se $c in B$ allora anche $(c-1/n) in B$ e questo ancora una volta è assurdo. Questa la farò per esercizio comunque.
Infine, poiché si è dimostrato che $sqrt(2)$ non sta in $QQ$, $A uu B = QQ$ e quindi si dimostra che l'elemento separatore non sta in $QQ$. Adesso ho le idee decisamente più chiare.
"HowardRoark":
.... Poi il prof ha scritto che in particolare questo è vero per $n>(2c+1)/(2-c^2)$ ma questo non so dove lo abbia tirato fuori.
Prova a risolvere per $n$ la $c^2 + (1+2c)/n < 2$
"Elemento separatore di un insieme"? 
Mi sa che vale la pena rivedere le definizioni.
Per il resto, vedi qui (§3).
P.S.: Scusa, HowardRoark, ma studi a Napoli?
Mi sa che vale la pena rivedere le definizioni.
Per il resto, vedi qui (§3).
P.S.: Scusa, HowardRoark, ma studi a Napoli?
Studio a Roma. In effetti volevo dire "elemento separatore fra due insiemi". Adesso non mi trovo a casa e non ho le definizioni sotto mano, ma mi sa che noi non abbiamo definito cosa sia un elemento separatore (anche perché è molto intuitivo). Infatti quello che ho riportato era solo un esempio che mostrava come l' $x$ positivo il cui quadrato sia 2, $x^2=2$ (la radice quadrata dobbiamo ancora definirla o una cosa del genere, per questo abbiamo preso quegli insiemi), non facesse parte di $AuuB = QQ$. Se $c$ (elemento separatore) sta in $A$ allora anche $c+1/n$, per n opportuni, sta in $A$ (assurdo per l'idea intuitiva che uno ha di "elemento separatore"); se invece sta in $B$ anche $c-1/n$, per n opportuni, sta in $B$ (assurdo anche questo). Non possono esserci altre possibilità perché l' unione tra $A$ e $B$ dà tutto $QQ$. L' idea alla base dell' esempio credo fosse questa.
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